Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48056 / 56472
↖ ↑ ↗
← N 24.146753°
W 48.010254°		 ← 278.70 m → N 24.146753°
W 48.007507°		 →
↑
278.67 m
↓
↑
278.67 m
↓
N 24.144247°
W 48.010254°		 ← 278.71 m →
77 666 m²		 N 24.144247°
W 48.007507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366641998291016 y=0.430850982666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366641998291016 × 217)
    floor (0.366641998291016 × 131072)
    floor (48056.5)     		tx = 48056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430850982666016 × 217)
    floor (0.430850982666016 × 131072)
    floor (56472.5)     		ty = 56472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48056 / 56472 ti = "17/48056/56472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48056/56472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48056 ÷ 217
    48056 ÷ 131072     		x = 0.36663818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56472 ÷ 217
    56472 ÷ 131072     		y = 0.43084716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36663818359375 × 2 - 1) × π
    -0.2667236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83793701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43084716796875 × 2 - 1) × π
    0.1383056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.434500058156189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83793701} λ = -0.83793701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434500058156189))-π/2
    2×atan(1.54419086031432)-π/2
    2×0.996118340339455-π/2
    1.99223668067891-1.57079632675     		φ = 0.42144035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83793701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.010254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42144035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.146753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48056 KachelY 56472 -0.83793701 0.42144035 -48.010254 24.146753
    Oben rechts KachelX + 1 48057 KachelY 56472 -0.83788907 0.42144035 -48.007507 24.146753
    Unten links KachelX 48056 KachelY + 1 56473 -0.83793701 0.42139661 -48.010254 24.144247
    Unten rechts KachelX + 1 48057 KachelY + 1 56473 -0.83788907 0.42139661 -48.007507 24.144247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42144035-0.42139661) × R
    4.37400000000143e-05 × 6371000     		dl = 278.667540000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42144035-0.42139661) × R
    4.37400000000143e-05 × 6371000     		dr = 278.667540000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83793701--0.83788907) × cos(0.42144035) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912500675596117 × 6371000     		do = 278.701194094261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83793701--0.83788907) × cos(0.42139661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912518567672349 × 6371000     		du = 278.706658794884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42144035)-sin(0.42139661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912500675596117-0.912518567672349)×R²
    abs(-0.83788907--0.83793701)×1.78920762312629e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78920762312629e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78920762312629e-05×40589641000000     		ar = 77665.7375830712m²