Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48056 / 54370
↖ ↑ ↗
← N 29.300771°
W 48.010254°		 ← 266.35 m → N 29.300771°
W 48.007507°		 →
↑
266.37 m
↓
↑
266.37 m
↓
N 29.298376°
W 48.010254°		 ← 266.36 m →
70 949 m²		 N 29.298376°
W 48.007507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366641998291016 y=0.414813995361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366641998291016 × 217)
    floor (0.366641998291016 × 131072)
    floor (48056.5)     		tx = 48056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414813995361328 × 217)
    floor (0.414813995361328 × 131072)
    floor (54370.5)     		ty = 54370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48056 / 54370 ti = "17/48056/54370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48056/54370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48056 ÷ 217
    48056 ÷ 131072     		x = 0.36663818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54370 ÷ 217
    54370 ÷ 131072     		y = 0.414810180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36663818359375 × 2 - 1) × π
    -0.2667236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83793701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414810180664062 × 2 - 1) × π
    0.170379638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.535263421157547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83793701} λ = -0.83793701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535263421157547))-π/2
    2×atan(1.70789807949236)-π/2
    2×1.04109562752785-π/2
    2.08219125505571-1.57079632675     		φ = 0.51139493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83793701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.010254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51139493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.300771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48056 KachelY 54370 -0.83793701 0.51139493 -48.010254 29.300771
    Oben rechts KachelX + 1 48057 KachelY 54370 -0.83788907 0.51139493 -48.007507 29.300771
    Unten links KachelX 48056 KachelY + 1 54371 -0.83793701 0.51135312 -48.010254 29.298376
    Unten rechts KachelX + 1 48057 KachelY + 1 54371 -0.83788907 0.51135312 -48.007507 29.298376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51139493-0.51135312) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dl = 266.371510000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51139493-0.51135312) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dr = 266.371510000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83793701--0.83788907) × cos(0.51139493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872062685673644 × 6371000     		do = 266.350391098085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83793701--0.83788907) × cos(0.51135312) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872083146482465 × 6371000     		du = 266.356640355761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51139493)-sin(0.51135312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872062685673644-0.872083146482465)×R²
    abs(-0.83788907--0.83793701)×2.04608088213432e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04608088213432e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04608088213432e-05×40589641000000     		ar = 70948.9881883761m²