Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48052 / 54367
↖ ↑ ↗
← N 29.307957°
W 48.021240°		 ← 266.28 m → N 29.307957°
W 48.018494°		 →
↑
266.37 m
↓
↑
266.37 m
↓
N 29.305561°
W 48.021240°		 ← 266.28 m →
70 929 m²		 N 29.305561°
W 48.018494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366611480712891 y=0.414791107177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366611480712891 × 217)
    floor (0.366611480712891 × 131072)
    floor (48052.5)     		tx = 48052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414791107177734 × 217)
    floor (0.414791107177734 × 131072)
    floor (54367.5)     		ty = 54367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48052 / 54367 ti = "17/48052/54367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48052/54367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48052 ÷ 217
    48052 ÷ 131072     		x = 0.366607666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54367 ÷ 217
    54367 ÷ 131072     		y = 0.414787292480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366607666015625 × 2 - 1) × π
    -0.26678466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83812875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414787292480469 × 2 - 1) × π
    0.170425415039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.535407231856407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83812875} λ = -0.83812875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535407231856407))-π/2
    2×atan(1.70814371117056)-π/2
    2×1.04115833129331-π/2
    2.08231666258663-1.57079632675     		φ = 0.51152034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83812875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.021240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51152034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.307957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48052 KachelY 54367 -0.83812875 0.51152034 -48.021240 29.307957
    Oben rechts KachelX + 1 48053 KachelY 54367 -0.83808082 0.51152034 -48.018494 29.307957
    Unten links KachelX 48052 KachelY + 1 54368 -0.83812875 0.51147853 -48.021240 29.305561
    Unten rechts KachelX + 1 48053 KachelY + 1 54368 -0.83808082 0.51147853 -48.018494 29.305561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51152034-0.51147853) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dl = 266.371510000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51152034-0.51147853) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dr = 266.371510000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83812875--0.83808082) × cos(0.51152034) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.872001303890802 × 6371000     		do = 266.276088318905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83812875--0.83808082) × cos(0.51147853) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.872021769272083 × 6371000     		du = 266.282337669278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51152034)-sin(0.51147853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872001303890802-0.872021769272083)×R²
    abs(-0.83808082--0.83812875)×2.04653812807543e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.04653812807543e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.04653812807543e-05×40589641000000     		ar = 70929.1960572455m²