Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48051 / 54365
↖ ↑ ↗
← N 29.312747°
W 48.023987°		 ← 266.32 m → N 29.312747°
W 48.021240°		 →
↑
266.31 m
↓
↑
266.31 m
↓
N 29.310352°
W 48.023987°		 ← 266.33 m →
70 924 m²		 N 29.310352°
W 48.021240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366603851318359 y=0.414775848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366603851318359 × 217)
    floor (0.366603851318359 × 131072)
    floor (48051.5)     		tx = 48051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414775848388672 × 217)
    floor (0.414775848388672 × 131072)
    floor (54365.5)     		ty = 54365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48051 / 54365 ti = "17/48051/54365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48051/54365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48051 ÷ 217
    48051 ÷ 131072     		x = 0.366600036621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54365 ÷ 217
    54365 ÷ 131072     		y = 0.414772033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366600036621094 × 2 - 1) × π
    -0.266799926757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.83817669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414772033691406 × 2 - 1) × π
    0.170455932617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.535503105655647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83817669} λ = -0.83817669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535503105655647))-π/2
    2×atan(1.7083074852485)-π/2
    2×1.04120013135148-π/2
    2.08240026270296-1.57079632675     		φ = 0.51160394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83817669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.023987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51160394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.312747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48051 KachelY 54365 -0.83817669 0.51160394 -48.023987 29.312747
    Oben rechts KachelX + 1 48052 KachelY 54365 -0.83812875 0.51160394 -48.021240 29.312747
    Unten links KachelX 48051 KachelY + 1 54366 -0.83817669 0.51156214 -48.023987 29.310352
    Unten rechts KachelX + 1 48052 KachelY + 1 54366 -0.83812875 0.51156214 -48.021240 29.310352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51160394-0.51156214) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dl = 266.307799999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51160394-0.51156214) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dr = 266.307799999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83817669--0.83812875) × cos(0.51160394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.871960378346832 × 6371000     		do = 266.319143807086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83817669--0.83812875) × cos(0.51156214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.871980841880597 × 6371000     		du = 266.32539389703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51160394)-sin(0.51156214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871960378346832-0.871980841880597)×R²
    abs(-0.83812875--0.83817669)×2.04635337650583e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04635337650583e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04635337650583e-05×40589641000000     		ar = 70923.6975193434m²