Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48047 / 54417
↖ ↑ ↗
← N 29.188135°
W 48.034973°		 ← 266.64 m → N 29.188135°
W 48.032227°		 →
↑
266.63 m
↓
↑
266.63 m
↓
N 29.185737°
W 48.034973°		 ← 266.65 m →
71 095 m²		 N 29.185737°
W 48.032227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366573333740234 y=0.415172576904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366573333740234 × 217)
    floor (0.366573333740234 × 131072)
    floor (48047.5)     		tx = 48047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415172576904297 × 217)
    floor (0.415172576904297 × 131072)
    floor (54417.5)     		ty = 54417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48047 / 54417 ti = "17/48047/54417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48047/54417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48047 ÷ 217
    48047 ÷ 131072     		x = 0.366569519042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54417 ÷ 217
    54417 ÷ 131072     		y = 0.415168762207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366569519042969 × 2 - 1) × π
    -0.266860961914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.83836844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415168762207031 × 2 - 1) × π
    0.169662475585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.533010386875404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83836844} λ = -0.83836844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.533010386875404))-π/2
    2×atan(1.70405445810014)-π/2
    2×1.0401126927929-π/2
    2.0802253855858-1.57079632675     		φ = 0.50942906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83836844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.034973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50942906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.188135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48047 KachelY 54417 -0.83836844 0.50942906 -48.034973 29.188135
    Oben rechts KachelX + 1 48048 KachelY 54417 -0.83832050 0.50942906 -48.032227 29.188135
    Unten links KachelX 48047 KachelY + 1 54418 -0.83836844 0.50938721 -48.034973 29.185737
    Unten rechts KachelX + 1 48048 KachelY + 1 54418 -0.83832050 0.50938721 -48.032227 29.185737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50942906-0.50938721) × R
    4.18500000000099e-05 × 6371000     		dl = 266.626350000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50942906-0.50938721) × R
    4.18500000000099e-05 × 6371000     		dr = 266.626350000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83836844--0.83832050) × cos(0.50942906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.873023085302601 × 6371000     		do = 266.643721865455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83836844--0.83832050) × cos(0.50938721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.873043493899315 × 6371000     		du = 266.649955176209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50942906)-sin(0.50938721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873023085302601-0.873043493899315)×R²
    abs(-0.83832050--0.83836844)×2.04085967144829e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04085967144829e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04085967144829e-05×40589641000000     		ar = 71095.073304238m²