Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48045 / 56266
↖ ↑ ↗
← N 24.661994°
W 48.040466°		 ← 277.57 m → N 24.661994°
W 48.037719°		 →
↑
277.52 m
↓
↑
277.52 m
↓
N 24.659498°
W 48.040466°		 ← 277.57 m →
77 031 m²		 N 24.659498°
W 48.037719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366558074951172 y=0.429279327392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366558074951172 × 217)
    floor (0.366558074951172 × 131072)
    floor (48045.5)     		tx = 48045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429279327392578 × 217)
    floor (0.429279327392578 × 131072)
    floor (56266.5)     		ty = 56266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48045 / 56266 ti = "17/48045/56266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48045/56266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48045 ÷ 217
    48045 ÷ 131072     		x = 0.366554260253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56266 ÷ 217
    56266 ÷ 131072     		y = 0.429275512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366554260253906 × 2 - 1) × π
    -0.266891479492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.83846431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429275512695312 × 2 - 1) × π
    0.141448974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.444375059477921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83846431} λ = -0.83846431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.444375059477921))-π/2
    2×atan(1.55951528693675)-π/2
    2×1.00061466440351-π/2
    2.00122932880701-1.57079632675     		φ = 0.43043300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83846431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.040466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43043300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.661994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48045 KachelY 56266 -0.83846431 0.43043300 -48.040466 24.661994
    Oben rechts KachelX + 1 48046 KachelY 56266 -0.83841637 0.43043300 -48.037719 24.661994
    Unten links KachelX 48045 KachelY + 1 56267 -0.83846431 0.43038944 -48.040466 24.659498
    Unten rechts KachelX + 1 48046 KachelY + 1 56267 -0.83841637 0.43038944 -48.037719 24.659498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43043300-0.43038944) × R
    4.3559999999998e-05 × 6371000     		dl = 277.520759999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43043300-0.43038944) × R
    4.3559999999998e-05 × 6371000     		dr = 277.520759999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83846431--0.83841637) × cos(0.43043300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.908785159412535 × 6371000     		do = 277.56637981441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83846431--0.83841637) × cos(0.43038944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.908803334585222 × 6371000     		du = 277.571930979977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43043300)-sin(0.43038944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908785159412535-0.908803334585222)×R²
    abs(-0.83841637--0.83846431)×1.81751726866519e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81751726866519e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81751726866519e-05×40589641000000     		ar = 77031.2029705739m²