Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48044 / 56436
↖ ↑ ↗
← N 24.236947°
W 48.043213°		 ← 278.50 m → N 24.236947°
W 48.040466°		 →
↑
278.54 m
↓
↑
278.54 m
↓
N 24.234442°
W 48.043213°		 ← 278.51 m →
77 575 m²		 N 24.234442°
W 48.040466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366550445556641 y=0.430576324462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366550445556641 × 217)
    floor (0.366550445556641 × 131072)
    floor (48044.5)     		tx = 48044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430576324462891 × 217)
    floor (0.430576324462891 × 131072)
    floor (56436.5)     		ty = 56436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48044 / 56436 ti = "17/48044/56436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48044/56436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48044 ÷ 217
    48044 ÷ 131072     		x = 0.366546630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56436 ÷ 217
    56436 ÷ 131072     		y = 0.430572509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.26690673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83851225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430572509765625 × 2 - 1) × π
    0.13885498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.436225786542511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83851225} λ = -0.83851225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436225786542511))-π/2
    2×atan(1.54685801504624)-π/2
    2×0.996905426316631-π/2
    1.99381085263326-1.57079632675     		φ = 0.42301453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83851225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.043213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42301453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.236947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48044 KachelY 56436 -0.83851225 0.42301453 -48.043213 24.236947
    Oben rechts KachelX + 1 48045 KachelY 56436 -0.83846431 0.42301453 -48.040466 24.236947
    Unten links KachelX 48044 KachelY + 1 56437 -0.83851225 0.42297081 -48.043213 24.234442
    Unten rechts KachelX + 1 48045 KachelY + 1 56437 -0.83846431 0.42297081 -48.040466 24.234442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42301453-0.42297081) × R
    4.37200000000249e-05 × 6371000     		dl = 278.540120000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42301453-0.42297081) × R
    4.37200000000249e-05 × 6371000     		dr = 278.540120000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83851225--0.83846431) × cos(0.42301453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.911855587260436 × 6371000     		do = 278.504167511971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83851225--0.83846431) × cos(0.42297081) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.911873533935563 × 6371000     		du = 278.509648888502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42301453)-sin(0.42297081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911855587260436-0.911873533935563)×R²
    abs(-0.83846431--0.83851225)×1.79466751267787e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79466751267787e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79466751267787e-05×40589641000000     		ar = 77575.3476432555m²