Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48044 / 56268
↖ ↑ ↗
← N 24.657002°
W 48.043213°		 ← 277.58 m → N 24.657002°
W 48.040466°		 →
↑
277.52 m
↓
↑
277.52 m
↓
N 24.654506°
W 48.043213°		 ← 277.58 m →
77 034 m²		 N 24.654506°
W 48.040466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366550445556641 y=0.429294586181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366550445556641 × 217)
    floor (0.366550445556641 × 131072)
    floor (48044.5)     		tx = 48044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429294586181641 × 217)
    floor (0.429294586181641 × 131072)
    floor (56268.5)     		ty = 56268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48044 / 56268 ti = "17/48044/56268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48044/56268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48044 ÷ 217
    48044 ÷ 131072     		x = 0.366546630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56268 ÷ 217
    56268 ÷ 131072     		y = 0.429290771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.26690673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83851225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429290771484375 × 2 - 1) × π
    0.14141845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.44427918567868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83851225} λ = -0.83851225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44427918567868))-π/2
    2×atan(1.55936577744835)-π/2
    2×1.00057109918924-π/2
    2.00114219837847-1.57079632675     		φ = 0.43034587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83851225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.043213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43034587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.657002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48044 KachelY 56268 -0.83851225 0.43034587 -48.043213 24.657002
    Oben rechts KachelX + 1 48045 KachelY 56268 -0.83846431 0.43034587 -48.040466 24.657002
    Unten links KachelX 48044 KachelY + 1 56269 -0.83851225 0.43030231 -48.043213 24.654506
    Unten rechts KachelX + 1 48045 KachelY + 1 56269 -0.83846431 0.43030231 -48.040466 24.654506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43034587-0.43030231) × R
    4.3559999999998e-05 × 6371000     		dl = 277.520759999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43034587-0.43030231) × R
    4.3559999999998e-05 × 6371000     		dr = 277.520759999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83851225--0.83846431) × cos(0.43034587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.90882151220533 × 6371000     		do = 277.57748289305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83851225--0.83846431) × cos(0.43030231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.908839683928725 × 6371000     		du = 277.583033005115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43034587)-sin(0.43030231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90882151220533-0.908839683928725)×R²
    abs(-0.83846431--0.83851225)×1.81717233955769e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81717233955769e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81717233955769e-05×40589641000000     		ar = 77034.2841591181m²