Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48043 / 56447
↖ ↑ ↗
← N 24.209395°
W 48.045960°		 ← 278.56 m → N 24.209395°
W 48.043213°		 →
↑
278.54 m
↓
↑
278.54 m
↓
N 24.206890°
W 48.045960°		 ← 278.57 m →
77 592 m²		 N 24.206890°
W 48.043213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366542816162109 y=0.430660247802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366542816162109 × 217)
    floor (0.366542816162109 × 131072)
    floor (48043.5)     		tx = 48043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430660247802734 × 217)
    floor (0.430660247802734 × 131072)
    floor (56447.5)     		ty = 56447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48043 / 56447 ti = "17/48043/56447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48043/56447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48043 ÷ 217
    48043 ÷ 131072     		x = 0.366539001464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56447 ÷ 217
    56447 ÷ 131072     		y = 0.430656433105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366539001464844 × 2 - 1) × π
    -0.266921997070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.83856019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430656433105469 × 2 - 1) × π
    0.138687133789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.43569848064669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83856019} λ = -0.83856019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.43569848064669))-π/2
    2×atan(1.54604256271022)-π/2
    2×0.996664986889383-π/2
    1.99332997377877-1.57079632675     		φ = 0.42253365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83856019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.045960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42253365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.209395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48043 KachelY 56447 -0.83856019 0.42253365 -48.045960 24.209395
    Oben rechts KachelX + 1 48044 KachelY 56447 -0.83851225 0.42253365 -48.043213 24.209395
    Unten links KachelX 48043 KachelY + 1 56448 -0.83856019 0.42248993 -48.045960 24.206890
    Unten rechts KachelX + 1 48044 KachelY + 1 56448 -0.83851225 0.42248993 -48.043213 24.206890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42253365-0.42248993) × R
    4.37199999999693e-05 × 6371000     		dl = 278.540119999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42253365-0.42248993) × R
    4.37199999999693e-05 × 6371000     		dr = 278.540119999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83856019--0.83851225) × cos(0.42253365) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.912052888413815 × 6371000     		do = 278.564428363389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83856019--0.83851225) × cos(0.42248993) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.91207081591576 × 6371000     		du = 278.569903883937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42253365)-sin(0.42248993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912052888413815-0.91207081591576)×R²
    abs(-0.83851225--0.83856019)×1.79275019449587e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.79275019449587e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.79275019449587e-05×40589641000000     		ar = 77592.1318924779m²