Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48040 / 56448
↖ ↑ ↗
← N 24.206890°
W 48.054199°		 ← 278.57 m → N 24.206890°
W 48.051453°		 →
↑
278.60 m
↓
↑
278.60 m
↓
N 24.204384°
W 48.054199°		 ← 278.58 m →
77 611 m²		 N 24.204384°
W 48.051453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366519927978516 y=0.430667877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366519927978516 × 217)
    floor (0.366519927978516 × 131072)
    floor (48040.5)     		tx = 48040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430667877197266 × 217)
    floor (0.430667877197266 × 131072)
    floor (56448.5)     		ty = 56448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48040 / 56448 ti = "17/48040/56448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48040/56448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48040 ÷ 217
    48040 ÷ 131072     		x = 0.36651611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56448 ÷ 217
    56448 ÷ 131072     		y = 0.4306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.2669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83870400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4306640625 × 2 - 1) × π
    0.138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.43565054374707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83870400} λ = -0.83870400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.43565054374707))-π/2
    2×atan(1.54596845199942)-π/2
    2×0.996643126180616-π/2
    1.99328625236123-1.57079632675     		φ = 0.42248993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83870400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.054199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42248993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.206890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48040 KachelY 56448 -0.83870400 0.42248993 -48.054199 24.206890
    Oben rechts KachelX + 1 48041 KachelY 56448 -0.83865606 0.42248993 -48.051453 24.206890
    Unten links KachelX 48040 KachelY + 1 56449 -0.83870400 0.42244620 -48.054199 24.204384
    Unten rechts KachelX + 1 48041 KachelY + 1 56449 -0.83865606 0.42244620 -48.051453 24.204384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42248993-0.42244620) × R
    4.37300000000196e-05 × 6371000     		dl = 278.603830000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42248993-0.42244620) × R
    4.37300000000196e-05 × 6371000     		dr = 278.603830000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83870400--0.83865606) × cos(0.42248993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.91207081591576 × 6371000     		do = 278.569903883292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83870400--0.83865606) × cos(0.42244620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912088745774266 × 6371000     		du = 278.575380123594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42248993)-sin(0.42244620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91207081591576-0.912088745774266)×R²
    abs(-0.83865606--0.83870400)×1.79298585060161e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79298585060161e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79298585060161e-05×40589641000000     		ar = 77611.4050077335m²