Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48039 / 56249
↖ ↑ ↗
← N 24.704420°
W 48.056946°		 ← 277.41 m → N 24.704420°
W 48.054199°		 →
↑
277.46 m
↓
↑
277.46 m
↓
N 24.701925°
W 48.056946°		 ← 277.42 m →
76 971 m²		 N 24.701925°
W 48.054199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366512298583984 y=0.429149627685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366512298583984 × 217)
    floor (0.366512298583984 × 131072)
    floor (48039.5)     		tx = 48039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429149627685547 × 217)
    floor (0.429149627685547 × 131072)
    floor (56249.5)     		ty = 56249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48039 / 56249 ti = "17/48039/56249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48039/56249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48039 ÷ 217
    48039 ÷ 131072     		x = 0.366508483886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56249 ÷ 217
    56249 ÷ 131072     		y = 0.429145812988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366508483886719 × 2 - 1) × π
    -0.266983032226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.83875193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429145812988281 × 2 - 1) × π
    0.141708374023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.445189986771461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83875193} λ = -0.83875193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445189986771461))-π/2
    2×atan(1.56078669649158)-π/2
    2×1.00098489833375-π/2
    2.00196979666749-1.57079632675     		φ = 0.43117347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83875193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.056946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43117347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.704420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48039 KachelY 56249 -0.83875193 0.43117347 -48.056946 24.704420
    Oben rechts KachelX + 1 48040 KachelY 56249 -0.83870400 0.43117347 -48.054199 24.704420
    Unten links KachelX 48039 KachelY + 1 56250 -0.83875193 0.43112992 -48.056946 24.701925
    Unten rechts KachelX + 1 48040 KachelY + 1 56250 -0.83870400 0.43112992 -48.054199 24.701925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43117347-0.43112992) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dl = 277.457050000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43117347-0.43112992) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dr = 277.457050000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83875193--0.83870400) × cos(0.43117347) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.908475938569311 × 6371000     		do = 277.41405680785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83875193--0.83870400) × cos(0.43112992) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.90849413887108 × 6371000     		du = 277.419614488945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43117347)-sin(0.43112992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908475938569311-0.90849413887108)×R²
    abs(-0.83870400--0.83875193)×1.82003017685783e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82003017685783e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82003017685783e-05×40589641000000     		ar = 76971.2568514768m²