Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48036 / 56251
↖ ↑ ↗
← N 24.699430°
W 48.065185°		 ← 277.43 m → N 24.699430°
W 48.062439°		 →
↑
277.46 m
↓
↑
277.46 m
↓
N 24.696934°
W 48.065185°		 ← 277.43 m →
76 974 m²		 N 24.696934°
W 48.062439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366489410400391 y=0.429164886474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366489410400391 × 217)
    floor (0.366489410400391 × 131072)
    floor (48036.5)     		tx = 48036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429164886474609 × 217)
    floor (0.429164886474609 × 131072)
    floor (56251.5)     		ty = 56251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48036 / 56251 ti = "17/48036/56251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48036/56251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48036 ÷ 217
    48036 ÷ 131072     		x = 0.366485595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56251 ÷ 217
    56251 ÷ 131072     		y = 0.429161071777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366485595703125 × 2 - 1) × π
    -0.26702880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83889574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429161071777344 × 2 - 1) × π
    0.141677856445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.445094112972221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83889574} λ = -0.83889574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445094112972221))-π/2
    2×atan(1.56063706511416)-π/2
    2×1.00094134794142-π/2
    2.00188269588283-1.57079632675     		φ = 0.43108637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83889574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.065185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43108637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.699430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48036 KachelY 56251 -0.83889574 0.43108637 -48.065185 24.699430
    Oben rechts KachelX + 1 48037 KachelY 56251 -0.83884781 0.43108637 -48.062439 24.699430
    Unten links KachelX 48036 KachelY + 1 56252 -0.83889574 0.43104282 -48.065185 24.696934
    Unten rechts KachelX + 1 48037 KachelY + 1 56252 -0.83884781 0.43104282 -48.062439 24.696934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43108637-0.43104282) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dl = 277.457050000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43108637-0.43104282) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dr = 277.457050000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83889574--0.83884781) × cos(0.43108637) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.908512337449796 × 6371000     		do = 277.425171643885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83889574--0.83884781) × cos(0.43104282) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.908530534305426 × 6371000     		du = 277.430728272659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43108637)-sin(0.43104282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908512337449796-0.908530534305426)×R²
    abs(-0.83884781--0.83889574)×1.81968556295375e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81968556295375e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81968556295375e-05×40589641000000     		ar = 76974.3405951376m²