Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48036 / 51164
↖ ↑ ↗
← S 70.546862°
E 83.869629°		 ← 203.41 m → S 70.546862°
E 83.875122°		 →
↑
203.43 m
↓
↑
203.43 m
↓
S 70.548692°
E 83.869629°		 ← 203.40 m →
41 378 m²		 S 70.548692°
E 83.875122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.732978820800781 y=0.780708312988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.732978820800781 × 216)
    floor (0.732978820800781 × 65536)
    floor (48036.5)     		tx = 48036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780708312988281 × 216)
    floor (0.780708312988281 × 65536)
    floor (51164.5)     		ty = 51164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48036 / 51164 ti = "16/48036/51164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48036/51164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48036 ÷ 216
    48036 ÷ 65536     		x = 0.73297119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51164 ÷ 216
    51164 ÷ 65536     		y = 0.78070068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73297119140625 × 2 - 1) × π
    0.4659423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.46380117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78070068359375 × 2 - 1) × π
    -0.5614013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76369441082111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46380117} λ = 1.46380117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76369441082111))-π/2
    2×atan(0.171410432063801)-π/2
    2×0.169760652406906-π/2
    0.339521304813811-1.57079632675     		φ = -1.23127502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46380117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.869629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23127502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.546862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48036 KachelY 51164 1.46380117 -1.23127502 83.869629 -70.546862
    Oben rechts KachelX + 1 48037 KachelY 51164 1.46389704 -1.23127502 83.875122 -70.546862
    Unten links KachelX 48036 KachelY + 1 51165 1.46380117 -1.23130695 83.869629 -70.548692
    Unten rechts KachelX + 1 48037 KachelY + 1 51165 1.46389704 -1.23130695 83.875122 -70.548692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23127502--1.23130695) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dl = 203.426030000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23127502--1.23130695) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dr = 203.426030000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.46380117-1.46389704) × cos(-1.23127502) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333035763696768 × 6371000     		do = 203.414171438592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.46380117-1.46389704) × cos(-1.23130695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333005656276742 × 6371000     		du = 203.395782194653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23127502)-sin(-1.23130695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333035763696768-0.333005656276742)×R²
    abs(1.46389704-1.46380117)×3.01074200267371e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01074200267371e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01074200267371e-05×40589641000000     		ar = 41377.8669193153m²