Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48032 / 51167
↖ ↑ ↗
← S 70.552350°
E 83.847656°		 ← 203.38 m → S 70.552350°
E 83.853150°		 →
↑
203.36 m
↓
↑
203.36 m
↓
S 70.554179°
E 83.847656°		 ← 203.36 m →
41 358 m²		 S 70.554179°
E 83.853150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.732917785644531 y=0.780754089355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.732917785644531 × 216)
    floor (0.732917785644531 × 65536)
    floor (48032.5)     		tx = 48032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780754089355469 × 216)
    floor (0.780754089355469 × 65536)
    floor (51167.5)     		ty = 51167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48032 / 51167 ti = "16/48032/51167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48032/51167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48032 ÷ 216
    48032 ÷ 65536     		x = 0.73291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51167 ÷ 216
    51167 ÷ 65536     		y = 0.780746459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73291015625 × 2 - 1) × π
    0.4658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.46341767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780746459960938 × 2 - 1) × π
    -0.561492919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76398203221883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46341767} λ = 1.46341767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76398203221883))-π/2
    2×atan(0.171361137845123)-π/2
    2×0.169712764795234-π/2
    0.339425529590467-1.57079632675     		φ = -1.23137080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46341767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.847656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23137080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.552350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48032 KachelY 51167 1.46341767 -1.23137080 83.847656 -70.552350
    Oben rechts KachelX + 1 48033 KachelY 51167 1.46351355 -1.23137080 83.853150 -70.552350
    Unten links KachelX 48032 KachelY + 1 51168 1.46341767 -1.23140272 83.847656 -70.554179
    Unten rechts KachelX + 1 48033 KachelY + 1 51168 1.46351355 -1.23140272 83.853150 -70.554179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23137080--1.23140272) × R
    3.19199999998521e-05 × 6371000     		dl = 203.362319999058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23137080--1.23140272) × R
    3.19199999998521e-05 × 6371000     		dr = 203.362319999058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.46341767-1.46351355) × cos(-1.23137080) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.332945449847657 × 6371000     		do = 203.380220799045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.46341767-1.46351355) × cos(-1.23140272) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.332915350838873 × 6371000     		du = 203.361834774983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23137080)-sin(-1.23140272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332945449847657-0.332915350838873)×R²
    abs(1.46351355-1.46341767)×3.00990087837016e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.00990087837016e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.00990087837016e-05×40589641000000     		ar = 41358.0040350206m²