Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48031 / 51168
↖ ↑ ↗
← S 70.554179°
E 83.842163°		 ← 203.34 m → S 70.554179°
E 83.847656°		 →
↑
203.30 m
↓
↑
203.30 m
↓
S 70.556007°
E 83.842163°		 ← 203.32 m →
41 337 m²		 S 70.556007°
E 83.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.732902526855469 y=0.780769348144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.732902526855469 × 216)
    floor (0.732902526855469 × 65536)
    floor (48031.5)     		tx = 48031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780769348144531 × 216)
    floor (0.780769348144531 × 65536)
    floor (51168.5)     		ty = 51168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48031 / 51168 ti = "16/48031/51168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48031/51168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48031 ÷ 216
    48031 ÷ 65536     		x = 0.732894897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51168 ÷ 216
    51168 ÷ 65536     		y = 0.78076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.732894897460938 × 2 - 1) × π
    0.465789794921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.46332180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78076171875 × 2 - 1) × π
    -0.5615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46332180} λ = 1.46332180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76407790601807))-π/2
    2×atan(0.171344709589328)-π/2
    2×0.169696805143919-π/2
    0.339393610287838-1.57079632675     		φ = -1.23140272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46332180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.842163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23140272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.554179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48031 KachelY 51168 1.46332180 -1.23140272 83.842163 -70.554179
    Oben rechts KachelX + 1 48032 KachelY 51168 1.46341767 -1.23140272 83.847656 -70.554179
    Unten links KachelX 48031 KachelY + 1 51169 1.46332180 -1.23143463 83.842163 -70.556007
    Unten rechts KachelX + 1 48032 KachelY + 1 51169 1.46341767 -1.23143463 83.847656 -70.556007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23140272--1.23143463) × R
    3.19100000001349e-05 × 6371000     		dl = 203.298610000859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23140272--1.23143463) × R
    3.19100000001349e-05 × 6371000     		dr = 203.298610000859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.46332180-1.46341767) × cos(-1.23140272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332915350838873 × 6371000     		do = 203.340624737639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.46332180-1.46341767) × cos(-1.23143463) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33288526092056 × 6371000     		du = 203.322246183532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23140272)-sin(-1.23143463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332915350838873-0.33288526092056)×R²
    abs(1.46341767-1.46332180)×3.00899183134917e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00899183134917e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00899183134917e-05×40589641000000     		ar = 41336.9982023738m²