Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48030 / 56516
↖ ↑ ↗
← N 24.036431°
W 48.081665°		 ← 278.88 m → N 24.036431°
W 48.078919°		 →
↑
278.92 m
↓
↑
278.92 m
↓
N 24.033923°
W 48.081665°		 ← 278.89 m →
77 787 m²		 N 24.033923°
W 48.078919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366443634033203 y=0.431186676025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366443634033203 × 217)
    floor (0.366443634033203 × 131072)
    floor (48030.5)     		tx = 48030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431186676025391 × 217)
    floor (0.431186676025391 × 131072)
    floor (56516.5)     		ty = 56516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48030 / 56516 ti = "17/48030/56516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48030/56516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48030 ÷ 217
    48030 ÷ 131072     		x = 0.366439819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56516 ÷ 217
    56516 ÷ 131072     		y = 0.431182861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366439819335938 × 2 - 1) × π
    -0.267120361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83918336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431182861328125 × 2 - 1) × π
    0.13763427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.432390834572907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83918336} λ = -0.83918336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.432390834572907))-π/2
    2×atan(1.5409372490377)-π/2
    2×0.995155591678291-π/2
    1.99031118335658-1.57079632675     		φ = 0.41951486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83918336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.081665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41951486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.036431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48030 KachelY 56516 -0.83918336 0.41951486 -48.081665 24.036431
    Oben rechts KachelX + 1 48031 KachelY 56516 -0.83913543 0.41951486 -48.078919 24.036431
    Unten links KachelX 48030 KachelY + 1 56517 -0.83918336 0.41947108 -48.081665 24.033923
    Unten rechts KachelX + 1 48031 KachelY + 1 56517 -0.83913543 0.41947108 -48.078919 24.033923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41951486-0.41947108) × R
    4.37799999999933e-05 × 6371000     		dl = 278.922379999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41951486-0.41947108) × R
    4.37799999999933e-05 × 6371000     		dr = 278.922379999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83918336--0.83913543) × cos(0.41951486) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.913286653758067 × 6371000     		do = 278.883066563641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83918336--0.83913543) × cos(0.41947108) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.913304485239866 × 6371000     		du = 278.888511621121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41951486)-sin(0.41947108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913286653758067-0.913304485239866)×R²
    abs(-0.83913543--0.83918336)×1.78314817983471e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78314817983471e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78314817983471e-05×40589641000000     		ar = 77787.4880541964m²