Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48029 / 56247
↖ ↑ ↗
← N 24.709411°
W 48.084412°		 ← 277.46 m → N 24.709411°
W 48.081665°		 →
↑
277.46 m
↓
↑
277.46 m
↓
N 24.706915°
W 48.084412°		 ← 277.47 m →
76 984 m²		 N 24.706915°
W 48.081665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366436004638672 y=0.429134368896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366436004638672 × 217)
    floor (0.366436004638672 × 131072)
    floor (48029.5)     		tx = 48029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429134368896484 × 217)
    floor (0.429134368896484 × 131072)
    floor (56247.5)     		ty = 56247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48029 / 56247 ti = "17/48029/56247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48029/56247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48029 ÷ 217
    48029 ÷ 131072     		x = 0.366432189941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56247 ÷ 217
    56247 ÷ 131072     		y = 0.429130554199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366432189941406 × 2 - 1) × π
    -0.267135620117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.83923130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429130554199219 × 2 - 1) × π
    0.141738891601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.445285860570702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83923130} λ = -0.83923130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445285860570702))-π/2
    2×atan(1.56093634221541)-π/2
    2×1.00102844698108-π/2
    2.00205689396217-1.57079632675     		φ = 0.43126057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83923130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.084412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43126057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.709411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48029 KachelY 56247 -0.83923130 0.43126057 -48.084412 24.709411
    Oben rechts KachelX + 1 48030 KachelY 56247 -0.83918336 0.43126057 -48.081665 24.709411
    Unten links KachelX 48029 KachelY + 1 56248 -0.83923130 0.43121702 -48.084412 24.706915
    Unten rechts KachelX + 1 48030 KachelY + 1 56248 -0.83918336 0.43121702 -48.081665 24.706915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43126057-0.43121702) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dl = 277.457050000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43126057-0.43121702) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dr = 277.457050000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83923130--0.83918336) × cos(0.43126057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.908439532796755 × 6371000     		do = 277.460816549521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83923130--0.83918336) × cos(0.43121702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.908457736544525 × 6371000     		du = 277.466376442655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43126057)-sin(0.43121702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908439532796755-0.908457736544525)×R²
    abs(-0.83918336--0.83923130)×1.82037477695074e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82037477695074e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82037477695074e-05×40589641000000     		ar = 76984.2309783126m²