Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48028 / 56467
↖ ↑ ↗
← N 24.159285°
W 48.087158°		 ← 278.67 m → N 24.159285°
W 48.084412°		 →
↑
278.67 m
↓
↑
278.67 m
↓
N 24.156778°
W 48.087158°		 ← 278.68 m →
77 658 m²		 N 24.156778°
W 48.084412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366428375244141 y=0.430812835693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366428375244141 × 217)
    floor (0.366428375244141 × 131072)
    floor (48028.5)     		tx = 48028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430812835693359 × 217)
    floor (0.430812835693359 × 131072)
    floor (56467.5)     		ty = 56467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48028 / 56467 ti = "17/48028/56467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48028/56467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48028 ÷ 217
    48028 ÷ 131072     		x = 0.366424560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56467 ÷ 217
    56467 ÷ 131072     		y = 0.430809020996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.26715087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83927924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430809020996094 × 2 - 1) × π
    0.138381958007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.434739742654289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83927924} λ = -0.83927924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434739742654289))-π/2
    2×atan(1.54456102328503)-π/2
    2×0.996227691110662-π/2
    1.99245538222132-1.57079632675     		φ = 0.42165906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83927924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.087158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42165906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.159285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48028 KachelY 56467 -0.83927924 0.42165906 -48.087158 24.159285
    Oben rechts KachelX + 1 48029 KachelY 56467 -0.83923130 0.42165906 -48.084412 24.159285
    Unten links KachelX 48028 KachelY + 1 56468 -0.83927924 0.42161532 -48.087158 24.156778
    Unten rechts KachelX + 1 48029 KachelY + 1 56468 -0.83923130 0.42161532 -48.084412 24.156778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42165906-0.42161532) × R
    4.37399999999588e-05 × 6371000     		dl = 278.667539999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42165906-0.42161532) × R
    4.37399999999588e-05 × 6371000     		dr = 278.667539999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83927924--0.83923130) × cos(0.42165906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912411184936124 × 6371000     		do = 278.67386134321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83927924--0.83923130) × cos(0.42161532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912429085741337 × 6371000     		du = 278.679328709888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42165906)-sin(0.42161532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912411184936124-0.912429085741337)×R²
    abs(-0.83923130--0.83927924)×1.79008052126894e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79008052126894e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79008052126894e-05×40589641000000     		ar = 77658.1212039185m²