Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48028 / 56292
↖ ↑ ↗
← N 24.597080°
W 48.087158°		 ← 277.71 m → N 24.597080°
W 48.084412°		 →
↑
277.65 m
↓
↑
277.65 m
↓
N 24.594583°
W 48.087158°		 ← 277.72 m →
77 107 m²		 N 24.594583°
W 48.084412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366428375244141 y=0.429477691650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366428375244141 × 217)
    floor (0.366428375244141 × 131072)
    floor (48028.5)     		tx = 48028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429477691650391 × 217)
    floor (0.429477691650391 × 131072)
    floor (56292.5)     		ty = 56292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48028 / 56292 ti = "17/48028/56292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48028/56292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48028 ÷ 217
    48028 ÷ 131072     		x = 0.366424560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56292 ÷ 217
    56292 ÷ 131072     		y = 0.429473876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.26715087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83927924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429473876953125 × 2 - 1) × π
    0.14105224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.443128700087799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83927924} λ = -0.83927924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.443128700087799))-π/2
    2×atan(1.55757278119643)-π/2
    2×1.00004818077631-π/2
    2.00009636155261-1.57079632675     		φ = 0.42930003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83927924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.087158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42930003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.597080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48028 KachelY 56292 -0.83927924 0.42930003 -48.087158 24.597080
    Oben rechts KachelX + 1 48029 KachelY 56292 -0.83923130 0.42930003 -48.084412 24.597080
    Unten links KachelX 48028 KachelY + 1 56293 -0.83927924 0.42925645 -48.087158 24.594583
    Unten rechts KachelX + 1 48029 KachelY + 1 56293 -0.83923130 0.42925645 -48.084412 24.594583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42930003-0.42925645) × R
    4.35799999999875e-05 × 6371000     		dl = 277.648179999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42930003-0.42925645) × R
    4.35799999999875e-05 × 6371000     		dr = 277.648179999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83927924--0.83923130) × cos(0.42930003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909257324029122 × 6371000     		do = 277.710591041832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83927924--0.83923130) × cos(0.42925645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909275462663079 × 6371000     		du = 277.716131047531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42930003)-sin(0.42925645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909257324029122-0.909275462663079)×R²
    abs(-0.83923130--0.83927924)×1.81386339568324e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81386339568324e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81386339568324e-05×40589641000000     		ar = 77106.6092679361m²