Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48023 / 56243
↖ ↑ ↗
← N 24.719390°
W 48.100891°		 ← 277.38 m → N 24.719390°
W 48.098145°		 →
↑
277.39 m
↓
↑
277.39 m
↓
N 24.716896°
W 48.100891°		 ← 277.39 m →
76 944 m²		 N 24.716896°
W 48.098145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366390228271484 y=0.429103851318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366390228271484 × 217)
    floor (0.366390228271484 × 131072)
    floor (48023.5)     		tx = 48023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429103851318359 × 217)
    floor (0.429103851318359 × 131072)
    floor (56243.5)     		ty = 56243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48023 / 56243 ti = "17/48023/56243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48023/56243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48023 ÷ 217
    48023 ÷ 131072     		x = 0.366386413574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56243 ÷ 217
    56243 ÷ 131072     		y = 0.429100036621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366386413574219 × 2 - 1) × π
    -0.267227172851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.83951892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429100036621094 × 2 - 1) × π
    0.141799926757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.445477608169182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83951892} λ = -0.83951892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445477608169182))-π/2
    2×atan(1.56123567670783)-π/2
    2×1.00111553903973-π/2
    2.00223107807945-1.57079632675     		φ = 0.43143475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83951892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.100891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43143475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.719390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48023 KachelY 56243 -0.83951892 0.43143475 -48.100891 24.719390
    Oben rechts KachelX + 1 48024 KachelY 56243 -0.83947099 0.43143475 -48.098145 24.719390
    Unten links KachelX 48023 KachelY + 1 56244 -0.83951892 0.43139121 -48.100891 24.716896
    Unten rechts KachelX + 1 48024 KachelY + 1 56244 -0.83947099 0.43139121 -48.098145 24.716896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43143475-0.43139121) × R
    4.35399999999531e-05 × 6371000     		dl = 277.393339999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43143475-0.43139121) × R
    4.35399999999531e-05 × 6371000     		dr = 277.393339999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83951892--0.83947099) × cos(0.43143475) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.908366708940026 × 6371000     		do = 277.380702225873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83951892--0.83947099) × cos(0.43139121) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.908384915397242 × 6371000     		du = 277.386261786607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43143475)-sin(0.43139121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908366708940026-0.908384915397242)×R²
    abs(-0.83947099--0.83951892)×1.82064572162854e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.82064572162854e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.82064572162854e-05×40589641000000     		ar = 76944.3305466355m²