Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48021 / 56237
↖ ↑ ↗
← N 24.734359°
W 48.106384°		 ← 277.41 m → N 24.734359°
W 48.103638°		 →
↑
277.39 m
↓
↑
277.39 m
↓
N 24.731864°
W 48.106384°		 ← 277.41 m →
76 951 m²		 N 24.731864°
W 48.103638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366374969482422 y=0.429058074951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366374969482422 × 217)
    floor (0.366374969482422 × 131072)
    floor (48021.5)     		tx = 48021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429058074951172 × 217)
    floor (0.429058074951172 × 131072)
    floor (56237.5)     		ty = 56237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48021 / 56237 ti = "17/48021/56237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48021/56237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48021 ÷ 217
    48021 ÷ 131072     		x = 0.366371154785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56237 ÷ 217
    56237 ÷ 131072     		y = 0.429054260253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366371154785156 × 2 - 1) × π
    -0.267257690429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.83961480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429054260253906 × 2 - 1) × π
    0.141891479492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.445765229566902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83961480} λ = -0.83961480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445765229566902))-π/2
    2×atan(1.56168478607897)-π/2
    2×1.00124616403372-π/2
    2.00249232806744-1.57079632675     		φ = 0.43169600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83961480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.106384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43169600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.734359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48021 KachelY 56237 -0.83961480 0.43169600 -48.106384 24.734359
    Oben rechts KachelX + 1 48022 KachelY 56237 -0.83956686 0.43169600 -48.103638 24.734359
    Unten links KachelX 48021 KachelY + 1 56238 -0.83961480 0.43165246 -48.106384 24.731864
    Unten rechts KachelX + 1 48022 KachelY + 1 56238 -0.83956686 0.43165246 -48.103638 24.731864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43169600-0.43165246) × R
    4.35400000000086e-05 × 6371000     		dl = 277.393340000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43169600-0.43165246) × R
    4.35400000000086e-05 × 6371000     		dr = 277.393340000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83961480--0.83956686) × cos(0.43169600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.908257429851409 × 6371000     		do = 277.405197622683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83961480--0.83956686) × cos(0.43165246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.90827564664062 × 6371000     		du = 277.410761499008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43169600)-sin(0.43165246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908257429851409-0.90827564664062)×R²
    abs(-0.83956686--0.83961480)×1.82167892107676e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82167892107676e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82167892107676e-05×40589641000000     		ar = 76951.1260052043m²