Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48020 / 56241
↖ ↑ ↗
← N 24.724380°
W 48.109131°		 ← 277.37 m → N 24.724380°
W 48.106384°		 →
↑
277.39 m
↓
↑
277.39 m
↓
N 24.721886°
W 48.109131°		 ← 277.38 m →
76 941 m²		 N 24.721886°
W 48.106384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366367340087891 y=0.429088592529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366367340087891 × 217)
    floor (0.366367340087891 × 131072)
    floor (48020.5)     		tx = 48020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429088592529297 × 217)
    floor (0.429088592529297 × 131072)
    floor (56241.5)     		ty = 56241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48020 / 56241 ti = "17/48020/56241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48020/56241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48020 ÷ 217
    48020 ÷ 131072     		x = 0.366363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56241 ÷ 217
    56241 ÷ 131072     		y = 0.429084777832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366363525390625 × 2 - 1) × π
    -0.26727294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83966273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429084777832031 × 2 - 1) × π
    0.141830444335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.445573481968422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83966273} λ = -0.83966273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445573481968422))-π/2
    2×atan(1.56138536547917)-π/2
    2×1.00115908245051-π/2
    2.00231816490103-1.57079632675     		φ = 0.43152184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83966273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.109131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43152184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.724380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48020 KachelY 56241 -0.83966273 0.43152184 -48.109131 24.724380
    Oben rechts KachelX + 1 48021 KachelY 56241 -0.83961480 0.43152184 -48.106384 24.724380
    Unten links KachelX 48020 KachelY + 1 56242 -0.83966273 0.43147830 -48.109131 24.721886
    Unten rechts KachelX + 1 48021 KachelY + 1 56242 -0.83961480 0.43147830 -48.106384 24.721886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43152184-0.43147830) × R
    4.35400000000086e-05 × 6371000     		dl = 277.393340000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43152184-0.43147830) × R
    4.35400000000086e-05 × 6371000     		dr = 277.393340000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83966273--0.83961480) × cos(0.43152184) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.908330286677033 × 6371000     		do = 277.369580250351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83966273--0.83961480) × cos(0.43147830) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.90834849657865 × 6371000     		du = 277.375140862874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43152184)-sin(0.43147830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908330286677033-0.90834849657865)×R²
    abs(-0.83961480--0.83966273)×1.82099016162729e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82099016162729e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82099016162729e-05×40589641000000     		ar = 76941.2455306502m²