Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48019 / 56242
↖ ↑ ↗
← N 24.721886°
W 48.111877°		 ← 277.43 m → N 24.721886°
W 48.109131°		 →
↑
277.46 m
↓
↑
277.46 m
↓
N 24.719390°
W 48.111877°		 ← 277.44 m →
76 977 m²		 N 24.719390°
W 48.109131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366359710693359 y=0.429096221923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366359710693359 × 217)
    floor (0.366359710693359 × 131072)
    floor (48019.5)     		tx = 48019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429096221923828 × 217)
    floor (0.429096221923828 × 131072)
    floor (56242.5)     		ty = 56242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48019 / 56242 ti = "17/48019/56242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48019/56242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48019 ÷ 217
    48019 ÷ 131072     		x = 0.366355895996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56242 ÷ 217
    56242 ÷ 131072     		y = 0.429092407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366355895996094 × 2 - 1) × π
    -0.267288208007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.83971067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429092407226562 × 2 - 1) × π
    0.141815185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.445525545068802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83971067} λ = -0.83971067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445525545068802))-π/2
    2×atan(1.5613105192996)-π/2
    2×1.00113731096336-π/2
    2.00227462192672-1.57079632675     		φ = 0.43147830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83971067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.111877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43147830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.721886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48019 KachelY 56242 -0.83971067 0.43147830 -48.111877 24.721886
    Oben rechts KachelX + 1 48020 KachelY 56242 -0.83966273 0.43147830 -48.109131 24.721886
    Unten links KachelX 48019 KachelY + 1 56243 -0.83971067 0.43143475 -48.111877 24.719390
    Unten rechts KachelX + 1 48020 KachelY + 1 56243 -0.83966273 0.43143475 -48.109131 24.719390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43147830-0.43143475) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dl = 277.457050000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43147830-0.43143475) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dr = 277.457050000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83971067--0.83966273) × cos(0.43147830) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.90834849657865 × 6371000     		do = 277.43301174524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83971067--0.83966273) × cos(0.43143475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.908366708940026 × 6371000     		du = 277.43857426919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43147830)-sin(0.43143475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90834849657865-0.908366708940026)×R²
    abs(-0.83966273--0.83971067)×1.82123613764462e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82123613764462e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82123613764462e-05×40589641000000     		ar = 76976.5167043418m²