Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48012 / 56284
↖ ↑ ↗
← N 24.617057°
W 48.131104°		 ← 277.67 m → N 24.617057°
W 48.128357°		 →
↑
277.65 m
↓
↑
277.65 m
↓
N 24.614560°
W 48.131104°		 ← 277.67 m →
77 094 m²		 N 24.614560°
W 48.128357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366306304931641 y=0.429416656494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366306304931641 × 217)
    floor (0.366306304931641 × 131072)
    floor (48012.5)     		tx = 48012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429416656494141 × 217)
    floor (0.429416656494141 × 131072)
    floor (56284.5)     		ty = 56284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48012 / 56284 ti = "17/48012/56284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48012/56284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48012 ÷ 217
    48012 ÷ 131072     		x = 0.366302490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56284 ÷ 217
    56284 ÷ 131072     		y = 0.429412841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.26739501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84004623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429412841796875 × 2 - 1) × π
    0.14117431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.44351219528476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84004623} λ = -0.84004623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44351219528476))-π/2
    2×atan(1.55817021742658)-π/2
    2×1.00022251476637-π/2
    2.00044502953274-1.57079632675     		φ = 0.42964870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84004623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.131104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42964870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.617057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48012 KachelY 56284 -0.84004623 0.42964870 -48.131104 24.617057
    Oben rechts KachelX + 1 48013 KachelY 56284 -0.83999829 0.42964870 -48.128357 24.617057
    Unten links KachelX 48012 KachelY + 1 56285 -0.84004623 0.42960512 -48.131104 24.614560
    Unten rechts KachelX + 1 48013 KachelY + 1 56285 -0.83999829 0.42960512 -48.128357 24.614560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42964870-0.42960512) × R
    4.35799999999875e-05 × 6371000     		dl = 277.648179999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42964870-0.42960512) × R
    4.35799999999875e-05 × 6371000     		dr = 277.648179999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84004623--0.83999829) × cos(0.42964870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909112140296267 × 6371000     		do = 277.666248192789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84004623--0.83999829) × cos(0.42960512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909130292745459 × 6371000     		du = 277.671792418016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42964870)-sin(0.42960512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909112140296267-0.909130292745459)×R²
    abs(-0.83999829--0.84004623)×1.81524491918994e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81524491918994e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81524491918994e-05×40589641000000     		ar = 77094.298142415m²