Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48002 / 54403
↖ ↑ ↗
← N 29.221699°
W 48.158569°		 ← 266.56 m → N 29.221699°
W 48.155823°		 →
↑
266.50 m
↓
↑
266.50 m
↓
N 29.219302°
W 48.158569°		 ← 266.56 m →
71 038 m²		 N 29.219302°
W 48.155823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366230010986328 y=0.415065765380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366230010986328 × 217)
    floor (0.366230010986328 × 131072)
    floor (48002.5)     		tx = 48002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415065765380859 × 217)
    floor (0.415065765380859 × 131072)
    floor (54403.5)     		ty = 54403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48002 / 54403 ti = "17/48002/54403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48002/54403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48002 ÷ 217
    48002 ÷ 131072     		x = 0.366226196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54403 ÷ 217
    54403 ÷ 131072     		y = 0.415061950683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366226196289062 × 2 - 1) × π
    -0.267547607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84052560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415061950683594 × 2 - 1) × π
    0.169876098632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.533681503470085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84052560} λ = -0.84052560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.533681503470085))-π/2
    2×atan(1.705198461162)-π/2
    2×1.04040559498188-π/2
    2.08081118996376-1.57079632675     		φ = 0.51001486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84052560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.158569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51001486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.221699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48002 KachelY 54403 -0.84052560 0.51001486 -48.158569 29.221699
    Oben rechts KachelX + 1 48003 KachelY 54403 -0.84047766 0.51001486 -48.155823 29.221699
    Unten links KachelX 48002 KachelY + 1 54404 -0.84052560 0.50997303 -48.158569 29.219302
    Unten rechts KachelX + 1 48003 KachelY + 1 54404 -0.84047766 0.50997303 -48.155823 29.219302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51001486-0.50997303) × R
    4.18299999999094e-05 × 6371000     		dl = 266.498929999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51001486-0.50997303) × R
    4.18299999999094e-05 × 6371000     		dr = 266.498929999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84052560--0.84047766) × cos(0.51001486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872737253235503 × 6371000     		do = 266.556421394846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84052560--0.84047766) × cos(0.50997303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872757673468689 × 6371000     		du = 266.562658259678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51001486)-sin(0.50997303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872737253235503-0.872757673468689)×R²
    abs(-0.84047766--0.84052560)×2.0420233185936e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0420233185936e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0420233185936e-05×40589641000000     		ar = 71037.8321554122m²