Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 480 / 317
↖ ↑ ↗
← N 56.365250°
W 11.250000°		 ← 21.653 km → N 56.365250°
W 10.898438°		 →
↑
21.708 km
↓
↑
21.708 km
↓
N 56.170023°
W 11.250000°		 ← 21.764 km →
471.250 km²		 N 56.170023°
W 10.898438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46923828125 y=0.31005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46923828125 × 210)
    floor (0.46923828125 × 1024)
    floor (480.5)     		tx = 480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31005859375 × 210)
    floor (0.31005859375 × 1024)
    floor (317.5)     		ty = 317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 480 / 317 ti = "10/480/317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/480/317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 480 ÷ 210
    480 ÷ 1024     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 317 ÷ 210
    317 ÷ 1024     		y = 0.3095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3095703125 × 2 - 1) × π
    0.380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1965050145166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1965050145166))-π/2
    2×atan(3.30853341617301)-π/2
    2×1.27727776268714-π/2
    2.55455552537428-1.57079632675     		φ = 0.98375920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98375920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.365250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 480 KachelY 317 -0.19634954 0.98375920 -11.250000 56.365250
    Oben rechts KachelX + 1 481 KachelY 317 -0.19021362 0.98375920 -10.898438 56.365250
    Unten links KachelX 480 KachelY + 1 318 -0.19634954 0.98035184 -11.250000 56.170023
    Unten rechts KachelX + 1 481 KachelY + 1 318 -0.19021362 0.98035184 -10.898438 56.170023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98375920-0.98035184) × R
    0.00340735999999997 × 6371000     		dl = 21708.2905599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98375920-0.98035184) × R
    0.00340735999999997 × 6371000     		dr = 21708.2905599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.19021362) × cos(0.98375920) × R
    0.00613591999999999 × 0.553896612603209 × 6371000     		do = 21652.8966467144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.19021362) × cos(0.98035184) × R
    0.00613591999999999 × 0.556730310100116 × 6371000     		du = 21763.6713971506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98375920)-sin(0.98035184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553896612603209-0.556730310100116)×R²
    abs(-0.19021362--0.19634954)×0.00283369749690732×R²
    0.00613591999999999×0.00283369749690732×6371000²
    0.00613591999999999×0.00283369749690732×40589641000000     		ar = 471250193.045767m²