Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 480 / 268
↖ ↑ ↗
← N 64.774125°
W 11.250000°		 ← 16.661 km → N 64.774125°
W 10.898438°		 →
↑
16.707 km
↓
↑
16.707 km
↓
N 64.623877°
W 11.250000°		 ← 16.753 km →
279.119 km²		 N 64.623877°
W 10.898438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46923828125 y=0.26220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46923828125 × 210)
    floor (0.46923828125 × 1024)
    floor (480.5)     		tx = 480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26220703125 × 210)
    floor (0.26220703125 × 1024)
    floor (268.5)     		ty = 268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 480 / 268 ti = "10/480/268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/480/268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 480 ÷ 210
    480 ÷ 1024     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 268 ÷ 210
    268 ÷ 1024     		y = 0.26171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26171875 × 2 - 1) × π
    0.4765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49716524893359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49716524893359))-π/2
    2×atan(4.46900258747256)-π/2
    2×1.35065904179333-π/2
    2.70131808358667-1.57079632675     		φ = 1.13052176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13052176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.774125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 480 KachelY 268 -0.19634954 1.13052176 -11.250000 64.774125
    Oben rechts KachelX + 1 481 KachelY 268 -0.19021362 1.13052176 -10.898438 64.774125
    Unten links KachelX 480 KachelY + 1 269 -0.19634954 1.12789943 -11.250000 64.623877
    Unten rechts KachelX + 1 481 KachelY + 1 269 -0.19021362 1.12789943 -10.898438 64.623877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13052176-1.12789943) × R
    0.0026223299999999 × 6371000     		dl = 16706.8644299993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13052176-1.12789943) × R
    0.0026223299999999 × 6371000     		dr = 16706.8644299993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.19021362) × cos(1.13052176) × R
    0.00613591999999999 × 0.426187863772093 × 6371000     		do = 16660.5130928141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.19021362) × cos(1.12789943) × R
    0.00613591999999999 × 0.428558646350392 × 6371000     		du = 16753.1915981014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13052176)-sin(1.12789943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426187863772093-0.428558646350392)×R²
    abs(-0.19021362--0.19634954)×0.00237078257829931×R²
    0.00613591999999999×0.00237078257829931×6371000²
    0.00613591999999999×0.00237078257829931×40589641000000     		ar = 279119277.137231m²