Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47999 / 54401
↖ ↑ ↗
← N 29.226493°
W 48.166809°		 ← 266.54 m → N 29.226493°
W 48.164062°		 →
↑
266.50 m
↓
↑
266.50 m
↓
N 29.224096°
W 48.166809°		 ← 266.55 m →
71 035 m²		 N 29.224096°
W 48.164062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366207122802734 y=0.415050506591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366207122802734 × 217)
    floor (0.366207122802734 × 131072)
    floor (47999.5)     		tx = 47999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415050506591797 × 217)
    floor (0.415050506591797 × 131072)
    floor (54401.5)     		ty = 54401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47999 / 54401 ti = "17/47999/54401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47999/54401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47999 ÷ 217
    47999 ÷ 131072     		x = 0.366203308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54401 ÷ 217
    54401 ÷ 131072     		y = 0.415046691894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366203308105469 × 2 - 1) × π
    -0.267593383789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.84066941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415046691894531 × 2 - 1) × π
    0.169906616210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.533777377269325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84066941} λ = -0.84066941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.533777377269325))-π/2
    2×atan(1.70536195285409)-π/2
    2×1.04044743032081-π/2
    2.08089486064161-1.57079632675     		φ = 0.51009853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84066941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.166809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51009853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.226493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47999 KachelY 54401 -0.84066941 0.51009853 -48.166809 29.226493
    Oben rechts KachelX + 1 48000 KachelY 54401 -0.84062147 0.51009853 -48.164062 29.226493
    Unten links KachelX 47999 KachelY + 1 54402 -0.84066941 0.51005670 -48.166809 29.224096
    Unten rechts KachelX + 1 48000 KachelY + 1 54402 -0.84062147 0.51005670 -48.164062 29.224096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51009853-0.51005670) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dl = 266.49893000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51009853-0.51005670) × R
    4.18300000000205e-05 × 6371000     		dr = 266.49893000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84066941--0.84062147) × cos(0.51009853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872696403305322 × 6371000     		do = 266.543944774692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84066941--0.84062147) × cos(0.51005670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872716826592979 × 6371000     		du = 266.550182572438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51009853)-sin(0.51005670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872696403305322-0.872716826592979)×R²
    abs(-0.84062147--0.84066941)×2.04232876573895e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04232876573895e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04232876573895e-05×40589641000000     		ar = 71034.5072740265m²