Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47986 / 54513
↖ ↑ ↗
← N 28.957686°
W 48.202515°		 ← 267.24 m → N 28.957686°
W 48.199768°		 →
↑
267.26 m
↓
↑
267.26 m
↓
N 28.955282°
W 48.202515°		 ← 267.25 m →
71 424 m²		 N 28.955282°
W 48.199768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366107940673828 y=0.415904998779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366107940673828 × 217)
    floor (0.366107940673828 × 131072)
    floor (47986.5)     		tx = 47986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415904998779297 × 217)
    floor (0.415904998779297 × 131072)
    floor (54513.5)     		ty = 54513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47986 / 54513 ti = "17/47986/54513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47986/54513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47986 ÷ 217
    47986 ÷ 131072     		x = 0.366104125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54513 ÷ 217
    54513 ÷ 131072     		y = 0.415901184082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366104125976562 × 2 - 1) × π
    -0.267791748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84129259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415901184082031 × 2 - 1) × π
    0.168197631835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.528408444511879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84129259} λ = -0.84129259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.528408444511879))-π/2
    2×atan(1.69623051417702)-π/2
    2×1.03810164141724-π/2
    2.07620328283448-1.57079632675     		φ = 0.50540696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84129259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.202515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50540696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.957686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47986 KachelY 54513 -0.84129259 0.50540696 -48.202515 28.957686
    Oben rechts KachelX + 1 47987 KachelY 54513 -0.84124465 0.50540696 -48.199768 28.957686
    Unten links KachelX 47986 KachelY + 1 54514 -0.84129259 0.50536501 -48.202515 28.955282
    Unten rechts KachelX + 1 47987 KachelY + 1 54514 -0.84124465 0.50536501 -48.199768 28.955282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50540696-0.50536501) × R
    4.19499999999573e-05 × 6371000     		dl = 267.263449999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50540696-0.50536501) × R
    4.19499999999573e-05 × 6371000     		dr = 267.263449999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84129259--0.84124465) × cos(0.50540696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874977511684082 × 6371000     		do = 267.240653989294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84129259--0.84124465) × cos(0.50536501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874997821575577 × 6371000     		du = 267.246857152933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50540696)-sin(0.50536501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874977511684082-0.874997821575577)×R²
    abs(-0.84124465--0.84129259)×2.03098914949296e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03098914949296e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03098914949296e-05×40589641000000     		ar = 71424.4881153393m²