Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47984 / 54442
↖ ↑ ↗
← N 29.128172°
W 48.208008°		 ← 266.74 m → N 29.128172°
W 48.205262°		 →
↑
266.75 m
↓
↑
266.75 m
↓
N 29.125773°
W 48.208008°		 ← 266.75 m →
71 156 m²		 N 29.125773°
W 48.205262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366092681884766 y=0.415363311767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366092681884766 × 217)
    floor (0.366092681884766 × 131072)
    floor (47984.5)     		tx = 47984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415363311767578 × 217)
    floor (0.415363311767578 × 131072)
    floor (54442.5)     		ty = 54442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47984 / 54442 ti = "17/47984/54442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47984/54442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47984 ÷ 217
    47984 ÷ 131072     		x = 0.3660888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54442 ÷ 217
    54442 ÷ 131072     		y = 0.415359497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3660888671875 × 2 - 1) × π
    -0.267822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84138846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415359497070312 × 2 - 1) × π
    0.169281005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.531811964384903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84138846} λ = -0.84138846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.531811964384903))-π/2
    2×atan(1.70201350411936)-π/2
    2×1.03958941473913-π/2
    2.07917882947827-1.57079632675     		φ = 0.50838250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84138846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.208008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50838250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.128172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47984 KachelY 54442 -0.84138846 0.50838250 -48.208008 29.128172
    Oben rechts KachelX + 1 47985 KachelY 54442 -0.84134053 0.50838250 -48.205262 29.128172
    Unten links KachelX 47984 KachelY + 1 54443 -0.84138846 0.50834063 -48.208008 29.125773
    Unten rechts KachelX + 1 47985 KachelY + 1 54443 -0.84134053 0.50834063 -48.205262 29.125773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50838250-0.50834063) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dl = 266.753769999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50838250-0.50834063) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dr = 266.753769999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84138846--0.84134053) × cos(0.50838250) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.873532992315061 × 6371000     		do = 266.743807805465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84138846--0.84134053) × cos(0.50834063) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.873553372397593 × 6371000     		du = 266.750031108838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50838250)-sin(0.50834063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873532992315061-0.873553372397593)×R²
    abs(-0.84134053--0.84138846)×2.03800825324674e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.03800825324674e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.03800825324674e-05×40589641000000     		ar = 71155.7464115087m²