Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47982 / 54447
↖ ↑ ↗
← N 29.116175°
W 48.213501°		 ← 266.83 m → N 29.116175°
W 48.210754°		 →
↑
266.82 m
↓
↑
266.82 m
↓
N 29.113775°
W 48.213501°		 ← 266.84 m →
71 196 m²		 N 29.113775°
W 48.210754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366077423095703 y=0.415401458740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366077423095703 × 217)
    floor (0.366077423095703 × 131072)
    floor (47982.5)     		tx = 47982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415401458740234 × 217)
    floor (0.415401458740234 × 131072)
    floor (54447.5)     		ty = 54447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47982 / 54447 ti = "17/47982/54447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47982/54447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47982 ÷ 217
    47982 ÷ 131072     		x = 0.366073608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54447 ÷ 217
    54447 ÷ 131072     		y = 0.415397644042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366073608398438 × 2 - 1) × π
    -0.267852783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84148434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415397644042969 × 2 - 1) × π
    0.169204711914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.531572279886803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84148434} λ = -0.84148434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.531572279886803))-π/2
    2×atan(1.70160560675216)-π/2
    2×1.03948472247453-π/2
    2.07896944494906-1.57079632675     		φ = 0.50817312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84148434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.213501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50817312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.116175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47982 KachelY 54447 -0.84148434 0.50817312 -48.213501 29.116175
    Oben rechts KachelX + 1 47983 KachelY 54447 -0.84143640 0.50817312 -48.210754 29.116175
    Unten links KachelX 47982 KachelY + 1 54448 -0.84148434 0.50813124 -48.213501 29.113775
    Unten rechts KachelX + 1 47983 KachelY + 1 54448 -0.84143640 0.50813124 -48.210754 29.113775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50817312-0.50813124) × R
    4.18800000000497e-05 × 6371000     		dl = 266.817480000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50817312-0.50813124) × R
    4.18800000000497e-05 × 6371000     		dr = 266.817480000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84148434--0.84143640) × cos(0.50817312) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.87363489201059 × 6371000     		do = 266.830583382597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84148434--0.84143640) × cos(0.50813124) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.873655269300004 × 6371000     		du = 266.836807131296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50817312)-sin(0.50813124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87363489201059-0.873655269300004)×R²
    abs(-0.84143640--0.84148434)×2.03772894137311e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.03772894137311e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.03772894137311e-05×40589641000000     		ar = 71195.8941580441m²