Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47982 / 54446
↖ ↑ ↗
← N 29.118575°
W 48.213501°		 ← 266.82 m → N 29.118575°
W 48.210754°		 →
↑
266.82 m
↓
↑
266.82 m
↓
N 29.116175°
W 48.213501°		 ← 266.83 m →
71 194 m²		 N 29.116175°
W 48.210754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366077423095703 y=0.415393829345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366077423095703 × 217)
    floor (0.366077423095703 × 131072)
    floor (47982.5)     		tx = 47982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415393829345703 × 217)
    floor (0.415393829345703 × 131072)
    floor (54446.5)     		ty = 54446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47982 / 54446 ti = "17/47982/54446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47982/54446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47982 ÷ 217
    47982 ÷ 131072     		x = 0.366073608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54446 ÷ 217
    54446 ÷ 131072     		y = 0.415390014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366073608398438 × 2 - 1) × π
    -0.267852783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84148434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415390014648438 × 2 - 1) × π
    0.169219970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.531620216786423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84148434} λ = -0.84148434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.531620216786423))-π/2
    2×atan(1.70168717840445)-π/2
    2×1.0395056619044-π/2
    2.0790113238088-1.57079632675     		φ = 0.50821500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84148434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.213501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50821500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.118575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47982 KachelY 54446 -0.84148434 0.50821500 -48.213501 29.118575
    Oben rechts KachelX + 1 47983 KachelY 54446 -0.84143640 0.50821500 -48.210754 29.118575
    Unten links KachelX 47982 KachelY + 1 54447 -0.84148434 0.50817312 -48.213501 29.116175
    Unten rechts KachelX + 1 47983 KachelY + 1 54447 -0.84143640 0.50817312 -48.210754 29.116175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50821500-0.50817312) × R
    4.18799999999386e-05 × 6371000     		dl = 266.817479999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50821500-0.50817312) × R
    4.18799999999386e-05 × 6371000     		dr = 266.817479999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84148434--0.84143640) × cos(0.50821500) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.873614513188878 × 6371000     		do = 266.824359165896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84148434--0.84143640) × cos(0.50817312) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.87363489201059 × 6371000     		du = 266.830583382597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50821500)-sin(0.50817312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873614513188878-0.87363489201059)×R²
    abs(-0.84143640--0.84148434)×2.03788217120193e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.03788217120193e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.03788217120193e-05×40589641000000     		ar = 71194.2334905099m²