Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47981 / 54441
↖ ↑ ↗
← N 29.130571°
W 48.216247°		 ← 266.74 m → N 29.130571°
W 48.213501°		 →
↑
266.82 m
↓
↑
266.82 m
↓
N 29.128172°
W 48.216247°		 ← 266.74 m →
71 171 m²		 N 29.128172°
W 48.213501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366069793701172 y=0.415355682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366069793701172 × 217)
    floor (0.366069793701172 × 131072)
    floor (47981.5)     		tx = 47981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415355682373047 × 217)
    floor (0.415355682373047 × 131072)
    floor (54441.5)     		ty = 54441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47981 / 54441 ti = "17/47981/54441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47981/54441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47981 ÷ 217
    47981 ÷ 131072     		x = 0.366065979003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54441 ÷ 217
    54441 ÷ 131072     		y = 0.415351867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366065979003906 × 2 - 1) × π
    -0.267868041992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.84153227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415351867675781 × 2 - 1) × π
    0.169296264648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.531859901284523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84153227} λ = -0.84153227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.531859901284523))-π/2
    2×atan(1.70209509532546)-π/2
    2×1.03961035172651-π/2
    2.07922070345302-1.57079632675     		φ = 0.50842438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84153227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.216247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50842438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.130571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47981 KachelY 54441 -0.84153227 0.50842438 -48.216247 29.130571
    Oben rechts KachelX + 1 47982 KachelY 54441 -0.84148434 0.50842438 -48.213501 29.130571
    Unten links KachelX 47981 KachelY + 1 54442 -0.84153227 0.50838250 -48.216247 29.128172
    Unten rechts KachelX + 1 47982 KachelY + 1 54442 -0.84148434 0.50838250 -48.213501 29.128172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50842438-0.50838250) × R
    4.18800000000497e-05 × 6371000     		dl = 266.817480000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50842438-0.50838250) × R
    4.18800000000497e-05 × 6371000     		dr = 266.817480000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84153227--0.84148434) × cos(0.50842438) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.873512605833125 × 6371000     		do = 266.737582547338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84153227--0.84148434) × cos(0.50838250) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.873532992315061 × 6371000     		du = 266.743807804847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50842438)-sin(0.50838250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873512605833125-0.873532992315061)×R²
    abs(-0.84148434--0.84153227)×2.03864819355859e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.03864819355859e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.03864819355859e-05×40589641000000     		ar = 71171.0801107357m²