Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4798 / 3850
↖ ↑ ↗
← N 10.746969°
E 30.849610°		 ← 4 800.79 m → N 10.746969°
E 30.893555°		 →
↑
4 801.12 m
↓
↑
4 801.12 m
↓
N 10.703792°
E 30.849610°		 ← 4 801.47 m →
23 050 802 m²		 N 10.703792°
E 30.893555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58575439453125 y=0.47003173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58575439453125 × 213)
    floor (0.58575439453125 × 8192)
    floor (4798.5)     		tx = 4798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47003173828125 × 213)
    floor (0.47003173828125 × 8192)
    floor (3850.5)     		ty = 3850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4798 / 3850 ti = "13/4798/3850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4798/3850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4798 ÷ 213
    4798 ÷ 8192     		x = 0.585693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3850 ÷ 213
    3850 ÷ 8192     		y = 0.469970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585693359375 × 2 - 1) × π
    0.17138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.53842726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469970703125 × 2 - 1) × π
    0.06005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.188679636904541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53842726} λ = 0.53842726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.188679636904541))-π/2
    2×atan(1.20765400272944)-π/2
    2×0.879183163003768-π/2
    1.75836632600754-1.57079632675     		φ = 0.18757000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53842726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.849610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18757000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.746969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4798 KachelY 3850 0.53842726 0.18757000 30.849610 10.746969
    Oben rechts KachelX + 1 4799 KachelY 3850 0.53919425 0.18757000 30.893555 10.746969
    Unten links KachelX 4798 KachelY + 1 3851 0.53842726 0.18681641 30.849610 10.703792
    Unten rechts KachelX + 1 4799 KachelY + 1 3851 0.53919425 0.18681641 30.893555 10.703792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18757000-0.18681641) × R
    0.000753589999999998 × 6371000     		dl = 4801.12188999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18757000-0.18681641) × R
    0.000753589999999998 × 6371000     		dr = 4801.12188999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53842726-0.53919425) × cos(0.18757000) × R
    0.000766990000000023 × 0.982460262463433 × 6371000     		do = 4800.78548021935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53842726-0.53919425) × cos(0.18681641) × R
    0.000766990000000023 × 0.982600506968399 × 6371000     		du = 4801.47078405182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18757000)-sin(0.18681641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982460262463433-0.982600506968399)×R²
    abs(0.53919425-0.53842726)×0.00014024450496597×R²
    0.000766990000000023×0.00014024450496597×6371000²
    0.000766990000000023×0.00014024450496597×40589641000000     		ar = 23050802.4627656m²