Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4797 / 3647
↖ ↑ ↗
← N 19.352611°
E 30.805664°		 ← 4 610.39 m → N 19.352611°
E 30.849610°		 →
↑
4 611.01 m
↓
↑
4 611.01 m
↓
N 19.311143°
E 30.805664°		 ← 4 611.56 m →
21 261 270 m²		 N 19.311143°
E 30.849610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58563232421875 y=0.44525146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58563232421875 × 213)
    floor (0.58563232421875 × 8192)
    floor (4797.5)     		tx = 4797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44525146484375 × 213)
    floor (0.44525146484375 × 8192)
    floor (3647.5)     		ty = 3647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4797 / 3647 ti = "13/4797/3647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4797/3647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4797 ÷ 213
    4797 ÷ 8192     		x = 0.5855712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3647 ÷ 213
    3647 ÷ 8192     		y = 0.4451904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5855712890625 × 2 - 1) × π
    0.171142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.53766027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4451904296875 × 2 - 1) × π
    0.109619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.344378686870483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53766027} λ = 0.53766027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344378686870483))-π/2
    2×atan(1.41111290427063)-π/2
    2×0.954281552874921-π/2
    1.90856310574984-1.57079632675     		φ = 0.33776678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53766027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.805664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33776678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.352611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4797 KachelY 3647 0.53766027 0.33776678 30.805664 19.352611
    Oben rechts KachelX + 1 4798 KachelY 3647 0.53842726 0.33776678 30.849610 19.352611
    Unten links KachelX 4797 KachelY + 1 3648 0.53766027 0.33704303 30.805664 19.311143
    Unten rechts KachelX + 1 4798 KachelY + 1 3648 0.53842726 0.33704303 30.849610 19.311143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33776678-0.33704303) × R
    0.000723749999999967 × 6371000     		dl = 4611.01124999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33776678-0.33704303) × R
    0.000723749999999967 × 6371000     		dr = 4611.01124999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53766027-0.53842726) × cos(0.33776678) × R
    0.000766989999999912 × 0.943497064067419 × 6371000     		do = 4610.39207269961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53766027-0.53842726) × cos(0.33704303) × R
    0.000766989999999912 × 0.94373665385257 × 6371000     		du = 4611.56282657711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33776678)-sin(0.33704303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943497064067419-0.94373665385257)×R²
    abs(0.53842726-0.53766027)×0.00023958978515104×R²
    0.000766989999999912×0.00023958978515104×6371000²
    0.000766989999999912×0.00023958978515104×40589641000000     		ar = 21261269.8218586m²