Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47957 / 54386
↖ ↑ ↗
← N 29.262441°
W 48.282166°		 ← 266.45 m → N 29.262441°
W 48.279419°		 →
↑
266.44 m
↓
↑
266.44 m
↓
N 29.260045°
W 48.282166°		 ← 266.46 m →
70 993 m²		 N 29.260045°
W 48.279419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365886688232422 y=0.414936065673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365886688232422 × 217)
    floor (0.365886688232422 × 131072)
    floor (47957.5)     		tx = 47957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414936065673828 × 217)
    floor (0.414936065673828 × 131072)
    floor (54386.5)     		ty = 54386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47957 / 54386 ti = "17/47957/54386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47957/54386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47957 ÷ 217
    47957 ÷ 131072     		x = 0.365882873535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54386 ÷ 217
    54386 ÷ 131072     		y = 0.414932250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365882873535156 × 2 - 1) × π
    -0.268234252929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.84268276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414932250976562 × 2 - 1) × π
    0.170135498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.534496430763626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84268276} λ = -0.84268276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.534496430763626))-π/2
    2×atan(1.70658864029943)-π/2
    2×1.04076113292694-π/2
    2.08152226585388-1.57079632675     		φ = 0.51072594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84268276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.282166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51072594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.262441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47957 KachelY 54386 -0.84268276 0.51072594 -48.282166 29.262441
    Oben rechts KachelX + 1 47958 KachelY 54386 -0.84263482 0.51072594 -48.279419 29.262441
    Unten links KachelX 47957 KachelY + 1 54387 -0.84268276 0.51068412 -48.282166 29.260045
    Unten rechts KachelX + 1 47958 KachelY + 1 54387 -0.84263482 0.51068412 -48.279419 29.260045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51072594-0.51068412) × R
    4.18200000000812e-05 × 6371000     		dl = 266.435220000518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51072594-0.51068412) × R
    4.18200000000812e-05 × 6371000     		dr = 266.435220000518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84268276--0.84263482) × cos(0.51072594) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872389890322959 × 6371000     		do = 266.450327820234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84268276--0.84263482) × cos(0.51068412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.872410331622654 × 6371000     		du = 266.45657111932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51072594)-sin(0.51068412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872389890322959-0.872410331622654)×R²
    abs(-0.84263482--0.84268276)×2.04412996955838e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04412996955838e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04412996955838e-05×40589641000000     		ar = 70992.5834396952m²