Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47954 / 60530
↖ ↑ ↗
← N 13.619295°
W 48.290405°		 ← 296.84 m → N 13.619295°
W 48.287659°		 →
↑
296.82 m
↓
↑
296.82 m
↓
N 13.616626°
W 48.290405°		 ← 296.84 m →
88 109 m²		 N 13.616626°
W 48.287659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365863800048828 y=0.461811065673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365863800048828 × 217)
    floor (0.365863800048828 × 131072)
    floor (47954.5)     		tx = 47954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461811065673828 × 217)
    floor (0.461811065673828 × 131072)
    floor (60530.5)     		ty = 60530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47954 / 60530 ti = "17/47954/60530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47954/60530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47954 ÷ 217
    47954 ÷ 131072     		x = 0.365859985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60530 ÷ 217
    60530 ÷ 131072     		y = 0.461807250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365859985351562 × 2 - 1) × π
    -0.268280029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84282657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461807250976562 × 2 - 1) × π
    0.076385498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.239972119498001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84282657} λ = -0.84282657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.239972119498001))-π/2
    2×atan(1.27121370775101)-π/2
    2×0.904248931358976-π/2
    1.80849786271795-1.57079632675     		φ = 0.23770154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84282657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.290405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23770154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.619295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47954 KachelY 60530 -0.84282657 0.23770154 -48.290405 13.619295
    Oben rechts KachelX + 1 47955 KachelY 60530 -0.84277863 0.23770154 -48.287659 13.619295
    Unten links KachelX 47954 KachelY + 1 60531 -0.84282657 0.23765495 -48.290405 13.616626
    Unten rechts KachelX + 1 47955 KachelY + 1 60531 -0.84277863 0.23765495 -48.287659 13.616626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23770154-0.23765495) × R
    4.65899999999853e-05 × 6371000     		dl = 296.824889999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23770154-0.23765495) × R
    4.65899999999853e-05 × 6371000     		dr = 296.824889999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84282657--0.84277863) × cos(0.23770154) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.971881758601227 × 6371000     		do = 296.837705313774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84282657--0.84277863) × cos(0.23765495) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.971892728066659 × 6371000     		du = 296.841055670871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23770154)-sin(0.23765495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971881758601227-0.971892728066659)×R²
    abs(-0.84277863--0.84282657)×1.0969465431776e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.0969465431776e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.0969465431776e-05×40589641000000     		ar = 88109.3164782104m²