Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47952 / 60498
↖ ↑ ↗
← N 13.704698°
W 48.295898°		 ← 296.67 m → N 13.704698°
W 48.293152°		 →
↑
296.70 m
↓
↑
296.70 m
↓
N 13.702030°
W 48.295898°		 ← 296.67 m →
88 021 m²		 N 13.702030°
W 48.293152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365848541259766 y=0.461566925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365848541259766 × 217)
    floor (0.365848541259766 × 131072)
    floor (47952.5)     		tx = 47952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461566925048828 × 217)
    floor (0.461566925048828 × 131072)
    floor (60498.5)     		ty = 60498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47952 / 60498 ti = "17/47952/60498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47952/60498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47952 ÷ 217
    47952 ÷ 131072     		x = 0.3658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60498 ÷ 217
    60498 ÷ 131072     		y = 0.461563110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84292244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461563110351562 × 2 - 1) × π
    0.076873779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.241506100285843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84292244} λ = -0.84292244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.241506100285843))-π/2
    2×atan(1.27316522156561)-π/2
    2×0.904994220447145-π/2
    1.80998844089429-1.57079632675     		φ = 0.23919211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84292244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.295898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23919211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.704698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47952 KachelY 60498 -0.84292244 0.23919211 -48.295898 13.704698
    Oben rechts KachelX + 1 47953 KachelY 60498 -0.84287451 0.23919211 -48.293152 13.704698
    Unten links KachelX 47952 KachelY + 1 60499 -0.84292244 0.23914554 -48.295898 13.702030
    Unten rechts KachelX + 1 47953 KachelY + 1 60499 -0.84287451 0.23914554 -48.293152 13.702030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23919211-0.23914554) × R
    4.65700000000235e-05 × 6371000     		dl = 296.69747000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23919211-0.23914554) × R
    4.65700000000235e-05 × 6371000     		dr = 296.69747000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84292244--0.84287451) × cos(0.23919211) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.97152969541655 × 6371000     		do = 296.668279997861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84292244--0.84287451) × cos(0.23914554) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.971540727625667 × 6371000     		du = 296.671648815632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23919211)-sin(0.23914554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97152969541655-0.971540727625667)×R²
    abs(-0.84287451--0.84292244)×1.10322091170234e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.10322091170234e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.10322091170234e-05×40589641000000     		ar = 88021.2278804306m²