Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4795 / 2976
↖ ↑ ↗
← N 81.255032°
W127.320557°		 ← 185.73 m → N 81.255032°
W127.309570°		 →
↑
185.78 m
↓
↑
185.78 m
↓
N 81.253362°
W127.320557°		 ← 185.77 m →
34 509 m²		 N 81.253362°
W127.309570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146347045898438 y=0.0908355712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146347045898438 × 215)
    floor (0.146347045898438 × 32768)
    floor (4795.5)     		tx = 4795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0908355712890625 × 215)
    floor (0.0908355712890625 × 32768)
    floor (2976.5)     		ty = 2976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4795 / 2976 ti = "15/4795/2976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4795/2976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4795 ÷ 215
    4795 ÷ 32768     		x = 0.146331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2976 ÷ 215
    2976 ÷ 32768     		y = 0.0908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146331787109375 × 2 - 1) × π
    -0.70733642578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22216292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0908203125 × 2 - 1) × π
    0.818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57095180042285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22216292} λ = -2.22216292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57095180042285))-π/2
    2×atan(13.0782664183627)-π/2
    2×1.49448208710832-π/2
    2.98896417421665-1.57079632675     		φ = 1.41816785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22216292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.320557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41816785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.255032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4795 KachelY 2976 -2.22216292 1.41816785 -127.320557 81.255032
    Oben rechts KachelX + 1 4796 KachelY 2976 -2.22197117 1.41816785 -127.309570 81.255032
    Unten links KachelX 4795 KachelY + 1 2977 -2.22216292 1.41813869 -127.320557 81.253362
    Unten rechts KachelX + 1 4796 KachelY + 1 2977 -2.22197117 1.41813869 -127.309570 81.253362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41816785-1.41813869) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dl = 185.778359999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41816785-1.41813869) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dr = 185.778359999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22216292--2.22197117) × cos(1.41816785) × R
    0.000191749999999935 × 0.152036575089231 × 6371000     		do = 185.733847564514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22216292--2.22197117) × cos(1.41813869) × R
    0.000191749999999935 × 0.152065396035741 × 6371000     		du = 185.769056363993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41816785)-sin(1.41813869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152036575089231-0.152065396035741)×R²
    abs(-2.22197117--2.22216292)×2.88209465100775e-05×R²
    0.000191749999999935×2.88209465100775e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.88209465100775e-05×40589641000000     		ar = 34508.6001159527m²