Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 47949 / 51156
↖ ↑ ↗
← S 70.532221°
E 83.391724°		 ← 203.56 m → S 70.532221°
E 83.397217°		 →
↑
203.62 m
↓
↑
203.62 m
↓
S 70.534052°
E 83.391724°		 ← 203.54 m →
41 447 m²		 S 70.534052°
E 83.397217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.731651306152344 y=0.780586242675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.731651306152344 × 216)
    floor (0.731651306152344 × 65536)
    floor (47949.5)     		tx = 47949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780586242675781 × 216)
    floor (0.780586242675781 × 65536)
    floor (51156.5)     		ty = 51156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 47949 / 51156 ti = "16/47949/51156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/47949/51156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47949 ÷ 216
    47949 ÷ 65536     		x = 0.731643676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51156 ÷ 216
    51156 ÷ 65536     		y = 0.78057861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.731643676757812 × 2 - 1) × π
    0.463287353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.45546015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78057861328125 × 2 - 1) × π
    -0.5611572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76292742042719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45546015} λ = 1.45546015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76292742042719))-π/2
    2×atan(0.171541952649677)-π/2
    2×0.169888416214809-π/2
    0.339776832429619-1.57079632675     		φ = -1.23101949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45546015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.391724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23101949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.532221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47949 KachelY 51156 1.45546015 -1.23101949 83.391724 -70.532221
    Oben rechts KachelX + 1 47950 KachelY 51156 1.45555602 -1.23101949 83.397217 -70.532221
    Unten links KachelX 47949 KachelY + 1 51157 1.45546015 -1.23105145 83.391724 -70.534052
    Unten rechts KachelX + 1 47950 KachelY + 1 51157 1.45555602 -1.23105145 83.397217 -70.534052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23101949--1.23105145) × R
    3.19600000000531e-05 × 6371000     		dl = 203.617160000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23101949--1.23105145) × R
    3.19600000000531e-05 × 6371000     		dr = 203.617160000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45546015-1.45555602) × cos(-1.23101949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333276695685644 × 6371000     		do = 203.561329750799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45546015-1.45555602) × cos(-1.23105145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333246562698549 × 6371000     		du = 203.542924890807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23101949)-sin(-1.23105145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333276695685644-0.333246562698549)×R²
    abs(1.45555602-1.45546015)×3.01329870949218e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01329870949218e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01329870949218e-05×40589641000000     		ar = 41446.7060808884m²