Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 47942 / 51262
↖ ↑ ↗
← S 70.725353°
E 83.353272°		 ← 201.62 m → S 70.725353°
E 83.358764°		 →
↑
201.58 m
↓
↑
201.58 m
↓
S 70.727166°
E 83.353272°		 ← 201.60 m →
40 640 m²		 S 70.727166°
E 83.358764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.731544494628906 y=0.782203674316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.731544494628906 × 216)
    floor (0.731544494628906 × 65536)
    floor (47942.5)     		tx = 47942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782203674316406 × 216)
    floor (0.782203674316406 × 65536)
    floor (51262.5)     		ty = 51262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 47942 / 51262 ti = "16/47942/51262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/47942/51262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47942 ÷ 216
    47942 ÷ 65536     		x = 0.731536865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51262 ÷ 216
    51262 ÷ 65536     		y = 0.782196044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.731536865234375 × 2 - 1) × π
    0.46307373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.45478903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782196044921875 × 2 - 1) × π
    -0.56439208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77309004314664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45478903} λ = 1.45478903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77309004314664))-π/2
    2×atan(0.169807464904596)-π/2
    2×0.16820302407512-π/2
    0.33640604815024-1.57079632675     		φ = -1.23439028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45478903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.353272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23439028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.725353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47942 KachelY 51262 1.45478903 -1.23439028 83.353272 -70.725353
    Oben rechts KachelX + 1 47943 KachelY 51262 1.45488490 -1.23439028 83.358764 -70.725353
    Unten links KachelX 47942 KachelY + 1 51263 1.45478903 -1.23442192 83.353272 -70.727166
    Unten rechts KachelX + 1 47943 KachelY + 1 51263 1.45488490 -1.23442192 83.358764 -70.727166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23439028--1.23442192) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dl = 201.578439999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23439028--1.23442192) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dr = 201.578439999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45478903-1.45488490) × cos(-1.23439028) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330096729542355 × 6371000     		do = 201.619045321464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45478903-1.45488490) × cos(-1.23442192) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330066862890527 × 6371000     		du = 201.600803135796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23439028)-sin(-1.23442192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330096729542355-0.330066862890527)×R²
    abs(1.45488490-1.45478903)×2.98666518283586e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98666518283586e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98666518283586e-05×40589641000000     		ar = 40640.2140179388m²