Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 47941 / 51261
↖ ↑ ↗
← S 70.723540°
E 83.347779°		 ← 201.64 m → S 70.723540°
E 83.353272°		 →
↑
201.64 m
↓
↑
201.64 m
↓
S 70.725353°
E 83.347779°		 ← 201.62 m →
40 657 m²		 S 70.725353°
E 83.353272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.731529235839844 y=0.782188415527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.731529235839844 × 216)
    floor (0.731529235839844 × 65536)
    floor (47941.5)     		tx = 47941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782188415527344 × 216)
    floor (0.782188415527344 × 65536)
    floor (51261.5)     		ty = 51261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 47941 / 51261 ti = "16/47941/51261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/47941/51261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47941 ÷ 216
    47941 ÷ 65536     		x = 0.731521606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51261 ÷ 216
    51261 ÷ 65536     		y = 0.782180786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.731521606445312 × 2 - 1) × π
    0.463043212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.45469316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782180786132812 × 2 - 1) × π
    -0.564361572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7729941693474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45469316} λ = 1.45469316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7729941693474))-π/2
    2×atan(0.169823745771838)-π/2
    2×0.168218848605015-π/2
    0.33643769721003-1.57079632675     		φ = -1.23435863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45469316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.347779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23435863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.723540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47941 KachelY 51261 1.45469316 -1.23435863 83.347779 -70.723540
    Oben rechts KachelX + 1 47942 KachelY 51261 1.45478903 -1.23435863 83.353272 -70.723540
    Unten links KachelX 47941 KachelY + 1 51262 1.45469316 -1.23439028 83.347779 -70.725353
    Unten rechts KachelX + 1 47942 KachelY + 1 51262 1.45478903 -1.23439028 83.353272 -70.725353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23435863--1.23439028) × R
    3.16499999999387e-05 × 6371000     		dl = 201.642149999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23435863--1.23439028) × R
    3.16499999999387e-05 × 6371000     		dr = 201.642149999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45469316-1.45478903) × cos(-1.23435863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330126605303094 × 6371000     		do = 201.637293070743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45469316-1.45478903) × cos(-1.23439028) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330096729542355 × 6371000     		du = 201.619045321464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23435863)-sin(-1.23439028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330126605303094-0.330096729542355)×R²
    abs(1.45478903-1.45469316)×2.98757607384847e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98757607384847e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98757607384847e-05×40589641000000     		ar = 40656.7375408761m²