Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 47941 / 51259
↖ ↑ ↗
← S 70.719913°
E 83.347779°		 ← 201.67 m → S 70.719913°
E 83.353272°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
S 70.721726°
E 83.347779°		 ← 201.66 m →
40 677 m²		 S 70.721726°
E 83.353272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.731529235839844 y=0.782157897949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.731529235839844 × 216)
    floor (0.731529235839844 × 65536)
    floor (47941.5)     		tx = 47941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782157897949219 × 216)
    floor (0.782157897949219 × 65536)
    floor (51259.5)     		ty = 51259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 47941 / 51259 ti = "16/47941/51259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/47941/51259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47941 ÷ 216
    47941 ÷ 65536     		x = 0.731521606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51259 ÷ 216
    51259 ÷ 65536     		y = 0.782150268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.731521606445312 × 2 - 1) × π
    0.463043212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.45469316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782150268554688 × 2 - 1) × π
    -0.564300537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77280242174892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45469316} λ = 1.45469316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77280242174892))-π/2
    2×atan(0.169856312189421)-π/2
    2×0.168250501961416-π/2
    0.336501003922833-1.57079632675     		φ = -1.23429532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45469316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.347779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23429532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.719913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47941 KachelY 51259 1.45469316 -1.23429532 83.347779 -70.719913
    Oben rechts KachelX + 1 47942 KachelY 51259 1.45478903 -1.23429532 83.353272 -70.719913
    Unten links KachelX 47941 KachelY + 1 51260 1.45469316 -1.23432698 83.347779 -70.721726
    Unten rechts KachelX + 1 47942 KachelY + 1 51260 1.45478903 -1.23432698 83.353272 -70.721726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23429532--1.23432698) × R
    3.16600000000999e-05 × 6371000     		dl = 201.705860000637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23429532--1.23432698) × R
    3.16600000000999e-05 × 6371000     		dr = 201.705860000637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45469316-1.45478903) × cos(-1.23429532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330186365271613 × 6371000     		do = 201.67379372865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45469316-1.45478903) × cos(-1.23432698) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330156480733137 × 6371000     		du = 201.655540618036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23429532)-sin(-1.23432698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330186365271613-0.330156480733137)×R²
    abs(1.45478903-1.45469316)×2.9884538475855e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9884538475855e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9884538475855e-05×40589641000000     		ar = 40676.9451272038m²