Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4794 / 3850
↖ ↑ ↗
← N 10.746969°
E 30.673828°		 ← 4 800.85 m → N 10.746969°
E 30.717774°		 →
↑
4 801.12 m
↓
↑
4 801.12 m
↓
N 10.703792°
E 30.673828°		 ← 4 801.53 m →
23 051 103 m²		 N 10.703792°
E 30.717774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58526611328125 y=0.47003173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58526611328125 × 213)
    floor (0.58526611328125 × 8192)
    floor (4794.5)     		tx = 4794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47003173828125 × 213)
    floor (0.47003173828125 × 8192)
    floor (3850.5)     		ty = 3850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4794 / 3850 ti = "13/4794/3850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4794/3850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4794 ÷ 213
    4794 ÷ 8192     		x = 0.585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3850 ÷ 213
    3850 ÷ 8192     		y = 0.469970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585205078125 × 2 - 1) × π
    0.17041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.53535929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469970703125 × 2 - 1) × π
    0.06005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.188679636904541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53535929} λ = 0.53535929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.188679636904541))-π/2
    2×atan(1.20765400272944)-π/2
    2×0.879183163003768-π/2
    1.75836632600754-1.57079632675     		φ = 0.18757000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53535929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.673828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18757000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.746969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4794 KachelY 3850 0.53535929 0.18757000 30.673828 10.746969
    Oben rechts KachelX + 1 4795 KachelY 3850 0.53612629 0.18757000 30.717774 10.746969
    Unten links KachelX 4794 KachelY + 1 3851 0.53535929 0.18681641 30.673828 10.703792
    Unten rechts KachelX + 1 4795 KachelY + 1 3851 0.53612629 0.18681641 30.717774 10.703792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18757000-0.18681641) × R
    0.000753589999999998 × 6371000     		dl = 4801.12188999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18757000-0.18681641) × R
    0.000753589999999998 × 6371000     		dr = 4801.12188999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53535929-0.53612629) × cos(0.18757000) × R
    0.000766999999999962 × 0.982460262463433 × 6371000     		do = 4800.84807276229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53535929-0.53612629) × cos(0.18681641) × R
    0.000766999999999962 × 0.982600506968399 × 6371000     		du = 4801.53338552974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18757000)-sin(0.18681641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982460262463433-0.982600506968399)×R²
    abs(0.53612629-0.53535929)×0.00014024450496597×R²
    0.000766999999999962×0.00014024450496597×6371000²
    0.000766999999999962×0.00014024450496597×40589641000000     		ar = 23051102.9986569m²