Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4794 / 3849
↖ ↑ ↗
← N 10.790141°
E 30.673828°		 ← 4 800.16 m → N 10.790141°
E 30.717774°		 →
↑
4 800.42 m
↓
↑
4 800.42 m
↓
N 10.746969°
E 30.673828°		 ← 4 800.85 m →
23 044 442 m²		 N 10.746969°
E 30.717774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58526611328125 y=0.46990966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58526611328125 × 213)
    floor (0.58526611328125 × 8192)
    floor (4794.5)     		tx = 4794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46990966796875 × 213)
    floor (0.46990966796875 × 8192)
    floor (3849.5)     		ty = 3849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4794 / 3849 ti = "13/4794/3849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4794/3849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4794 ÷ 213
    4794 ÷ 8192     		x = 0.585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3849 ÷ 213
    3849 ÷ 8192     		y = 0.4698486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585205078125 × 2 - 1) × π
    0.17041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.53535929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4698486328125 × 2 - 1) × π
    0.060302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.189446627298462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53535929} λ = 0.53535929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.189446627298462))-π/2
    2×atan(1.20858061705543)-π/2
    2×0.879559904818152-π/2
    1.7591198096363-1.57079632675     		φ = 0.18832348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53535929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.673828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18832348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.790141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4794 KachelY 3849 0.53535929 0.18832348 30.673828 10.790141
    Oben rechts KachelX + 1 4795 KachelY 3849 0.53612629 0.18832348 30.717774 10.790141
    Unten links KachelX 4794 KachelY + 1 3850 0.53535929 0.18757000 30.673828 10.746969
    Unten rechts KachelX + 1 4795 KachelY + 1 3850 0.53612629 0.18757000 30.717774 10.746969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18832348-0.18757000) × R
    0.000753480000000001 × 6371000     		dl = 4800.42108000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18832348-0.18757000) × R
    0.000753480000000001 × 6371000     		dr = 4800.42108000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53535929-0.53612629) × cos(0.18832348) × R
    0.000766999999999962 × 0.982319480614742 × 6371000     		do = 4800.16013423409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53535929-0.53612629) × cos(0.18757000) × R
    0.000766999999999962 × 0.982460262463433 × 6371000     		du = 4800.84807276229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18832348)-sin(0.18757000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982319480614742-0.982460262463433)×R²
    abs(0.53612629-0.53535929)×0.000140781848691041×R²
    0.000766999999999962×0.000140781848691041×6371000²
    0.000766999999999962×0.000140781848691041×40589641000000     		ar = 23044442.1833151m²