Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47939 / 56033
↖ ↑ ↗
← N 25.242211°
W 48.331604°		 ← 276.20 m → N 25.242211°
W 48.328858°		 →
↑
276.25 m
↓
↑
276.25 m
↓
N 25.239727°
W 48.331604°		 ← 276.21 m →
76 301 m²		 N 25.239727°
W 48.328858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365749359130859 y=0.427501678466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365749359130859 × 217)
    floor (0.365749359130859 × 131072)
    floor (47939.5)     		tx = 47939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427501678466797 × 217)
    floor (0.427501678466797 × 131072)
    floor (56033.5)     		ty = 56033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47939 / 56033 ti = "17/47939/56033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47939/56033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47939 ÷ 217
    47939 ÷ 131072     		x = 0.365745544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56033 ÷ 217
    56033 ÷ 131072     		y = 0.427497863769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365745544433594 × 2 - 1) × π
    -0.268508911132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.84354562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427497863769531 × 2 - 1) × π
    0.145004272460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.455544357089394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84354562} λ = -0.84354562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455544357089394))-π/2
    2×atan(1.57703161776105)-π/2
    2×1.00567801534339-π/2
    2.01135603068678-1.57079632675     		φ = 0.44055970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84354562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.331604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44055970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.242211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47939 KachelY 56033 -0.84354562 0.44055970 -48.331604 25.242211
    Oben rechts KachelX + 1 47940 KachelY 56033 -0.84349769 0.44055970 -48.328858 25.242211
    Unten links KachelX 47939 KachelY + 1 56034 -0.84354562 0.44051634 -48.331604 25.239727
    Unten rechts KachelX + 1 47940 KachelY + 1 56034 -0.84349769 0.44051634 -48.328858 25.239727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44055970-0.44051634) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dl = 276.246559999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44055970-0.44051634) × R
    4.33599999999923e-05 × 6371000     		dr = 276.246559999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84354562--0.84349769) × cos(0.44055970) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904513123200713 × 6371000     		do = 276.203963462379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84354562--0.84349769) × cos(0.44051634) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904531613039785 × 6371000     		du = 276.209609557172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44055970)-sin(0.44051634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904513123200713-0.904531613039785)×R²
    abs(-0.84349769--0.84354562)×1.84898390716004e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84898390716004e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84898390716004e-05×40589641000000     		ar = 76301.1746339092m²