Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47938 / 60482
↖ ↑ ↗
← N 13.747389°
W 48.334351°		 ← 296.68 m → N 13.747389°
W 48.331604°		 →
↑
296.63 m
↓
↑
296.63 m
↓
N 13.744721°
W 48.334351°		 ← 296.68 m →
88 005 m²		 N 13.744721°
W 48.331604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365741729736328 y=0.461444854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365741729736328 × 217)
    floor (0.365741729736328 × 131072)
    floor (47938.5)     		tx = 47938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461444854736328 × 217)
    floor (0.461444854736328 × 131072)
    floor (60482.5)     		ty = 60482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47938 / 60482 ti = "17/47938/60482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47938/60482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47938 ÷ 217
    47938 ÷ 131072     		x = 0.365737915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60482 ÷ 217
    60482 ÷ 131072     		y = 0.461441040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365737915039062 × 2 - 1) × π
    -0.268524169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84359356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461441040039062 × 2 - 1) × π
    0.077117919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.242273090679764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84359356} λ = -0.84359356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.242273090679764))-π/2
    2×atan(1.27414210164136)-π/2
    2×0.905366763535079-π/2
    1.81073352707016-1.57079632675     		φ = 0.23993720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84359356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.334351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23993720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.747389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47938 KachelY 60482 -0.84359356 0.23993720 -48.334351 13.747389
    Oben rechts KachelX + 1 47939 KachelY 60482 -0.84354562 0.23993720 -48.331604 13.747389
    Unten links KachelX 47938 KachelY + 1 60483 -0.84359356 0.23989064 -48.334351 13.744721
    Unten rechts KachelX + 1 47939 KachelY + 1 60483 -0.84354562 0.23989064 -48.331604 13.744721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23993720-0.23989064) × R
    4.6560000000001e-05 × 6371000     		dl = 296.633760000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23993720-0.23989064) × R
    4.6560000000001e-05 × 6371000     		dr = 296.633760000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84359356--0.84354562) × cos(0.23993720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971352900661559 × 6371000     		do = 296.676178485509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84359356--0.84354562) × cos(0.23989064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971363964202792 × 6371000     		du = 296.679557575777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23993720)-sin(0.23989064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971352900661559-0.971363964202792)×R²
    abs(-0.84354562--0.84359356)×1.10635412337023e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10635412337023e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10635412337023e-05×40589641000000     		ar = 88004.6715185958m²