Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47936 / 60609
↖ ↑ ↗
← N 13.408322°
W 48.339844°		 ← 297.04 m → N 13.408322°
W 48.337097°		 →
↑
297.08 m
↓
↑
297.08 m
↓
N 13.405651°
W 48.339844°		 ← 297.04 m →
88 245 m²		 N 13.405651°
W 48.337097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365726470947266 y=0.462413787841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365726470947266 × 217)
    floor (0.365726470947266 × 131072)
    floor (47936.5)     		tx = 47936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462413787841797 × 217)
    floor (0.462413787841797 × 131072)
    floor (60609.5)     		ty = 60609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47936 / 60609 ti = "17/47936/60609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47936/60609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47936 ÷ 217
    47936 ÷ 131072     		x = 0.36572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60609 ÷ 217
    60609 ÷ 131072     		y = 0.462409973144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36572265625 × 2 - 1) × π
    -0.2685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84368943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462409973144531 × 2 - 1) × π
    0.0751800537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.236185104428017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84368943} λ = -0.84368943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.236185104428017))-π/2
    2×atan(1.26640870633155)-π/2
    2×0.902407849333129-π/2
    1.80481569866626-1.57079632675     		φ = 0.23401937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84368943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.339844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23401937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.408322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47936 KachelY 60609 -0.84368943 0.23401937 -48.339844 13.408322
    Oben rechts KachelX + 1 47937 KachelY 60609 -0.84364150 0.23401937 -48.337097 13.408322
    Unten links KachelX 47936 KachelY + 1 60610 -0.84368943 0.23397274 -48.339844 13.405651
    Unten rechts KachelX + 1 47937 KachelY + 1 60610 -0.84364150 0.23397274 -48.337097 13.405651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23401937-0.23397274) × R
    4.6629999999992e-05 × 6371000     		dl = 297.079729999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23401937-0.23397274) × R
    4.6629999999992e-05 × 6371000     		dr = 297.079729999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84368943--0.84364150) × cos(0.23401937) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.972742206510958 × 6371000     		do = 297.038534846359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84368943--0.84364150) × cos(0.23397274) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.972753018446665 × 6371000     		du = 297.041836400995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23401937)-sin(0.23397274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972742206510958-0.972753018446665)×R²
    abs(-0.84364150--0.84368943)×1.08119357065117e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.08119357065117e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.08119357065117e-05×40589641000000     		ar = 88244.6181602069m²