Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4793 / 3718
↖ ↑ ↗
← N 16.383391°
E 30.629883°		 ← 4 688.08 m → N 16.383391°
E 30.673828°		 →
↑
4 688.61 m
↓
↑
4 688.61 m
↓
N 16.341226°
E 30.629883°		 ← 4 689.09 m →
21 982 960 m²		 N 16.341226°
E 30.673828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58514404296875 y=0.45391845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58514404296875 × 213)
    floor (0.58514404296875 × 8192)
    floor (4793.5)     		tx = 4793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45391845703125 × 213)
    floor (0.45391845703125 × 8192)
    floor (3718.5)     		ty = 3718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4793 / 3718 ti = "13/4793/3718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4793/3718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4793 ÷ 213
    4793 ÷ 8192     		x = 0.5850830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3718 ÷ 213
    3718 ÷ 8192     		y = 0.453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5850830078125 × 2 - 1) × π
    0.170166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.53459230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453857421875 × 2 - 1) × π
    0.09228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.2899223689021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53459230} λ = 0.53459230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.2899223689021))-π/2
    2×atan(1.33632374371926)-π/2
    2×0.928370222267963-π/2
    1.85674044453593-1.57079632675     		φ = 0.28594412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53459230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.629883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28594412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.383391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4793 KachelY 3718 0.53459230 0.28594412 30.629883 16.383391
    Oben rechts KachelX + 1 4794 KachelY 3718 0.53535929 0.28594412 30.673828 16.383391
    Unten links KachelX 4793 KachelY + 1 3719 0.53459230 0.28520819 30.629883 16.341226
    Unten rechts KachelX + 1 4794 KachelY + 1 3719 0.53535929 0.28520819 30.673828 16.341226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28594412-0.28520819) × R
    0.000735930000000051 × 6371000     		dl = 4688.61003000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28594412-0.28520819) × R
    0.000735930000000051 × 6371000     		dr = 4688.61003000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53459230-0.53535929) × cos(0.28594412) × R
    0.000766990000000023 × 0.95939577862071 × 6371000     		do = 4688.08103468457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53459230-0.53535929) × cos(0.28520819) × R
    0.000766990000000023 × 0.959603097690695 × 6371000     		du = 4689.09409792894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28594412)-sin(0.28520819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95939577862071-0.959603097690695)×R²
    abs(0.53535929-0.53459230)×0.000207319069984724×R²
    0.000766990000000023×0.000207319069984724×6371000²
    0.000766990000000023×0.000207319069984724×40589641000000     		ar = 21982959.6820716m²