Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 47928 / 51256
↖ ↑ ↗
← S 70.714471°
E 83.276367°		 ← 201.73 m → S 70.714471°
E 83.281860°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
S 70.716285°
E 83.276367°		 ← 201.71 m →
40 688 m²		 S 70.716285°
E 83.281860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.731330871582031 y=0.782112121582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.731330871582031 × 216)
    floor (0.731330871582031 × 65536)
    floor (47928.5)     		tx = 47928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782112121582031 × 216)
    floor (0.782112121582031 × 65536)
    floor (51256.5)     		ty = 51256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 47928 / 51256 ti = "16/47928/51256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/47928/51256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47928 ÷ 216
    47928 ÷ 65536     		x = 0.7313232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51256 ÷ 216
    51256 ÷ 65536     		y = 0.7821044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7313232421875 × 2 - 1) × π
    0.462646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.45344680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7821044921875 × 2 - 1) × π
    -0.564208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7725148003512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45344680} λ = 1.45344680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7725148003512))-π/2
    2×atan(0.16990517352579)-π/2
    2×0.168297992739252-π/2
    0.336595985478503-1.57079632675     		φ = -1.23420034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45344680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.276367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23420034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.714471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47928 KachelY 51256 1.45344680 -1.23420034 83.276367 -70.714471
    Oben rechts KachelX + 1 47929 KachelY 51256 1.45354267 -1.23420034 83.281860 -70.714471
    Unten links KachelX 47928 KachelY + 1 51257 1.45344680 -1.23423200 83.276367 -70.716285
    Unten rechts KachelX + 1 47929 KachelY + 1 51257 1.45354267 -1.23423200 83.281860 -70.716285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23420034--1.23423200) × R
    3.16600000000999e-05 × 6371000     		dl = 201.705860000637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23420034--1.23423200) × R
    3.16600000000999e-05 × 6371000     		dr = 201.705860000637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45344680-1.45354267) × cos(-1.23420034) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330276016901136 × 6371000     		do = 201.728551847523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45344680-1.45354267) × cos(-1.23423200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330246133355642 × 6371000     		du = 201.710299343411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23420034)-sin(-1.23423200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330276016901136-0.330246133355642)×R²
    abs(1.45354267-1.45344680)×2.98835454935475e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98835454935475e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98835454935475e-05×40589641000000     		ar = 40687.9902218078m²